淺談差分方程常數線性系統在動態經濟分析中的應用

摘 要：運用差分方程的相關理論，對常數線性差分方程系統在動態經濟分析中的應用通過具體經濟模型進行了較為詳細的展示。在展示中，對各模型中經濟變量時間路徑的收斂性采用了與模型參數的前置假設相聯系的方法進行討論，得出一般性結論。對基本方法與基本技巧的移植提供了模板和方便。

關鍵詞：差分方程；常數系統；動態；經濟分析

中圖分類號：F22 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2011）31-0005-09

將動態學這一術語應用于經濟分析時，標準用法中，它是指這樣一種分析類型：其目的是探尋和研究經濟變量的具體時間路徑，或者是確定在給定的充分長的時間內，這些經濟變量是否會趨向收斂于某一（均衡）值。這方面的研究非常重要，因為它可以彌補靜態學和比較靜態學的嚴重不足。在比較靜態學中，我們總是武斷地假定：經濟調節過程不可避免地導致平衡。在動態分析中，我們直接面對的是均衡的“可實現性”問題，而不是假設它必然能夠實現。動態分析的一個顯著特征是確定變量的時間，這就把時間因素明確納入分析范圍。在經濟與管理的實際問題中，經濟數據大多是以等間隔時間周期統計的。譬如，國內生產總值（GDP）、糧食總產量等是按年統計，消費者物價指數（CPI）、失業率、企業利潤等是按月統計的。由于這個原因，在動態經濟分析中，許多經濟變量的取值是離散變化的。將時間視為離散變量，進行動態經濟分析的有力數學工具是差分方程的相關理論。本文擬僅用差分方程常數線性系統的相關理論，展示差分方程在動態經濟分析中的應用。

一、差分方程的相關理論簡介

（一）差分方程的相關概念

定義1:給定函數yt≡f（t），t∈Z，yt在t期的一階差分定義為：

Δyt=yt+1-yt=f（t+1）-f（t）

Δyt+1=yt+2-yt+1=f（t+2）-f（t+1）

…… ……

Δyt+m=yt+m+1-yt+m=f（t+m+1）-f（t+m） （1）

其中，m∈N+

函數yt≡f（t）在t期的二階差分定義為：

Δ2yt=Δ（Δyt）=Δ（yt+1-yt）=Δyt+1-Δyt =yt+2-yt+1-yt+1+yt=

yt+2-2yt+1+yt （2）

…… ……

函數yt≡f（t）在t期的k階差分定義為：

Δkyt=Δ（Δk-1yt）=Δk-1yt+1-Δk-1yt （3）

其中，k∈N+ 。

定義2:含有自變量t，未知函數yt，以及yt的差分Δyt，Δ2yt，…的函數方程稱為常差分方程；出現在差分方程中的差分最高階數，稱為差分方程的階。n階差分方程的一般形式為：

F（t，yt，Δyt，…，Δnyt）=0 （4）

其中，F（t，yt，Δyt，…，Δnyt）為t，yt，Δyt，…，Δnyt的已知函數，且Δnyt一定要出現。

定義3：含有自變量和兩個或兩個以上的函數yt，yt+1的函數方程，稱為差分方程；出現在差分方程中未知函數下標的最大差，稱為差分方程的階。

按此定義，n階差分方程的一般形式為

F（t，yt，yt+1，…，yt+n）=0 （5）

其中，F（t，yt，yt+1，…，yt+n）為t，yt，yt+1，…，yt+n的已知函數，且yt和yt+n一定要出現。

由于經濟分析中經常遇到的是按定義3給出的差分方程，故本文只討論形如（5）的差分方程。

定義4：如果將已知函數yt=φ（t）代入方程（5），使其對t∈N成為恒等式，則稱yt=φ（t）為方程（5）的解。含有n個（獨立的）任意常數c1，c2，…，cn的解。

yt=φ（t，c1，c2，…，cn） （6）

稱為n階差分方程（5）的通解。

為了由通解確定差分方程的某個特解，需要給出確定此特解應滿足的定解條件，對n階差分方程（5），應給出n個定解條件，常見定解條件為初始條件：

yk=ak （k=0，1，…，n-1） （7）

其中，a0，a1，…，an-1為n個已知常數。

定義5 形如

yt+n+a1（t）yt+n+1+…+an-1（t）yt+1+an（t）yt=f（t） （8）

的差分方程，稱為階線性差分方程。其中，aj（t）為t的已知函數，（j=1，2，…，n），且an（t）≠0。

若方程（8）中，a1（t）=a1，a2（t）=a2，…，an（t）=an為常數，則有

yt+n+a1yt+n+1+…+an-1yt+1+anyt=f（t） （9）

稱其為常系數n階線性差分方程。

需要說明的是，下列諸方程等價

yt+a1yt-1+…+an-1y1+any0=f（t），

yt+1+a1yt+…+an-1yt+1+anyt=f（t），

…………

yt+n+a1yt+n+1+…+an-1yt+1+anyt=f（t）[1]

定義6 形如

It+1=At+（t） （10）

稱為常系數一階線性差分方程組。其中，I為n階單位矩陣；A=（aij）n×n，aij∈R；η（t）=[η1（t），η2（t），ηn（t）]T；t+1=（x1，t+1，x2，t+1，…，xn，t+1）T；t=（x1，t，x2，t，…，xn，t）T。

定義7：在n階線性差分方程（8）與一階線性差分方程組（10）中，若f（t）≡0與（t）≡0，則分別稱為與方程（8）對應的齊次n階線性差分方程和與方程組（10）對應的常系數齊次一階線性差分方程組。形式為：

yt+n+a1（t）yt+n-1+…+an-1（t）yt+1+an（t）yt=0 （11）

和It+1=At （12）

定義8：若在線性差分方程系統中，齊次系統各系數為實常數b，且方程（8）中的f（t）為實常數b，方程組（10）中的（t）為實常向量，則稱該系統為常數線性差分方程系統。

常數階線性差分方程為：

yt+n+a1yt+n-1+…+an-1yt+1+anyt=b （13）

常數一階線性差分方程組為：

It+1=At + （14）

其中，aj∈R（j=1，2，…，n），b∈R；I為n階單位矩陣，A為n階實數常矩陣，為n維實數常向量。

（二）常數線性差分方程系統相關的理論結果

1.常數線性差分方程系統解的性質

（1）若?準（t），?準1（t），?準2（t）是常數n階線性齊次差分方程yt+n+a1yt+n-1+…+an-1yt+1+anyt=0的解，則有：

性質1 ?準1（t）+?準2（t）也是該齊次方程的解。

性質2 對任意常數c，c?準（t）也是該齊次方程的解。

由此可知，若?準1（t），?準2（t），…，?準n（t）是該齊次方程的解，c1，c2，…，cn為n個任意常數，則?準1（t）=c1?準1（t）+c2?準2（t）+…+

cn?準n（t）也是該齊次方程的解。

（2）若（t），1（t），2（t）是常數一階線性差分方程組It+1=At的解，則有：

性質3 1（t）+2（t）也是該齊次方程組的解。

性質4 對任意常數c，c（t）也是該齊次方程組的解。

進一步可知，若1（t），2（t），…，n（t）是該齊次方程組的解，c1，c2，…，cn為任意n個常數，則（t）=c11（t）+c22（t）+…+cnn（t）也是該齊次方程組的解。

（3）若?準（t）[（t）]為齊次系統的解，?漬（t）[（t）]是非齊次系統的解，則有：

性質5 ?準（t）+?漬（t）是非齊次差分方程yt+n+a1yt+n-1+…+

an-1yt+1+anyt=b的解；（t）+（t）是非齊次差分方程組It+1=

At+的解。

2.常數n階線性差分方程解的結構

（1）齊次系統的通解

設有常數n階線性差分方程：xt+n+a1xt+n-1+…+an-1xt+1+anxt=b，其對應的齊次方程為：xt+n+a1xt+n-1+…+an-1xt+1+anxt=0。

一元n次方程λn+a1λn-1+…+an-1λ+an=0稱為齊次方程的特征方程。并稱特征方程的n個解（重根按重數計算）λ1，λ2，…，λn為齊次方程的特征根（特征值）。又稱λ=max{|λ1|，|λ2|，…，|λn|}為齊次方程的強根。則有如下結論：

1）若λ1，λ2，…，λn均為單根時，齊次方程的通解（記為xHt）為：

xHt= c1λt1+c2λt2+…+cnλtn+…+cktk-1λt1+ck+1λt k+1 （15）

2）若λi（不妨設為λ1）為k重根，即λ1=λ2=…=λk。其余為單根時，齊次方程的通解為：

xHt= c1λt1+c2tλt1+…+cktk-1λt1+ck+1λt k+1+…+cnλtn （16）

3）若λi（不妨設為λ1）為共軛復根，即λ1=u+iv且λ2=λ1=u-iv。其他特征根為單根時，齊次方程的通解為：

xHt=Rt（A1cosθt+A2sinθt）+c3λt3+…+cnλtn （17）

其中，R=||λ1||=||λ2||=；A1≡c1+c2，A2≡（c1-c2）i；θ由cosθ=，sinθ=決定。

（2）非齊次系統的特別解

關于常數n階線性非齊次差分方程xt+n+a1xt+n-1+…+an-1xt+1+

anxt=b≠0，可以通過如下方法確定其特別解（記為xPt）：

1）當1+a1+a2+…+an-1+an≠0時，特別解為常數，其數值為：

xPt= （18）

2）當1+a1+a2+…+an-1+an=0，

但是n1+（n-1）1a1+（n-2）1a2+…+21an-1+11an≠0時，特別解為kt（k為常數），具體形式為：

xPt=t （19）

3）當1+a1+a2+…+an-1+an＝0，且nm-1+（n-1）m-1a1+

（n-2）m-1a2+…+2m-1an-1+1m-1an=0 （m=2，3，…，n），但是nm+（n-1）ma1+（n-2）ma2+…+2man-1+1man≠0時，特別解為ktm（k為常數）。其具體形式為：

xPt=tm （20）

（3）非齊次系統的通解（記為xNt）為：

xNt=xHt+xPt （21）

3.常數一階線性差分方程組解的結構

（1）齊次系統的通解

設有常數一階線性差分方程組It+1=At+，其對應的齊次方程組為It+1=At。

|λI-A|=0稱為齊次方程組的特征方程；|λI-A|=0的n個解（重根按重數計算）λ1，λ2，…，λn，稱為齊次方程組的特征值；當A=λ成立時，稱為屬于特征值λ的特征向量；并稱λ=max{|λ1|，|λ2|，…，|λn|}為齊次方程組特征值的強根。則有如下結論：

1）若λi≠λj （i≠j；i，j=1，2，…，n）時，記λi對應的特征向量為i=（ξ1i，ξ2i，…，ξni）T （i=1，2，…，n），并記ξ=（1 2… n）。那么，齊次系統的通解（記為Ht）為：

Ht=ξ∧ （22）

其中，∧=diag（λt1+λt2+…+λtn）；=（c1，c2，…，cn）T。

2）若λi為二重根（不妨記為λ1=λ2=λ），則當對應的線性無關的特征向量有1與2兩個時，其對應的兩個線性無關基本解為1λt和2λt，此時通解公式依照（22）容易寫出；而當λ僅有一個線性無關的特征向量時，則其對應的兩個線性無關基本解為λt與（+t）λt，后一解中的滿足方程（A-λI）=λ。此時若其他特征值為單根時，有：

Ht=c11λt+c2（+t）λt+c33λt3+…+cnnλtn （23）

3）若λi（不妨設為λ1）為復根u+iv，則一定存在另一共軛復根λ2=λ1=u-iv。當A為 實矩陣時，λ1與λ2對應的特征向量也是共軛復向量1與2。記1、2=d±if，則兩共軛復根對應的線性無關基本解為：

c1Rt（cosθt-sinθt）+c2Rt（cosθt+sinθt）[2]

其中，R=||λ1||=||λ2||=；θ由cosθ=，sinθ=確定。當其他特征值為單根時，有：

Ht=c1Rt（cosθt-sinθt）+c2Rt（cosθt+sinθt）+c33λt3+…+

cnnλtn （24）

（2）非齊次系統的特別解

關于常數一階線性非齊次次方程組It+1=At+，≠0，當|A-I|≠0（即矩陣A-I可逆）時，存在唯一穩定均衡解（記為XPt）：

XPt=-（A-I）-1 （25）

（3）非齊次系統的通解（記為XNt）為：

XNt=XHt+XPt （26）

4.常數線性差分方程系統的穩定性

常數線性差分方程系統穩定的充分必要條件是：特征值中強根的絕對值（復根的模）小于1。

二、差分方程在動態經濟分析中應用展示

（一） 在蛛網模型中的應用

1. 模型

考察這樣一種情境：生產者的產出決策必須在實際銷售之前作出——比如農業生產，種植必須比收獲及產出的銷售早一個適當的時期。假設t期的產出決策是基于當時流行的價格Pt，但因產出直到（t+1）期方能銷售。所以，Pt不能確定Qst，而只能確定Qs，t+1。因此，我們現在有了一個“滯后”供給函數：Qs，t+1=S（Pt）。或者等價地，后移一期時間下標，得到：Qst=S（Pt-1）。當這個供給函數與形式為：Qdt=D（Pt）的需求函數相互作用時，便會產生一種有趣動態價格模式。

取線性形式的（滯后）供給函數和（非滯后）的需求函數，并假定每一時期的市場價格均處于市場出清時的價格水平，則有含如下三個方程的市場模型：

Qdt=QstQdt=α-βpt （α，β>0）Qst=-γ+δpt-1 （γ，δ>0） （1）

將后兩個方程代入第一個方程，模型可以化為一個一階差分方程：

βpt+δpt-1=α+γ

為解此方程，先將其規范化，并將時間下標向前移一期（即變為t（t+1）等等）。結果有：

pt+1+pt= （2）

方程（2）對應的齊次系統為：pt+1+pt=0

特征方程為：λ+=0?圯λ=-

齊次系統的通解為：pHt=c-t （3）

非齊次系統的特別解為：pPt=÷= （4）

非齊次系統的通解為：pNt=pHt+pPt=c-t + （5）

若定解條件為f（0）=p0，則

c-0 +=p0?圯c=p0-

記p=，可得時間路徑：

pt=（p0-p）-t+p （6）

2.蛛網

關于此模型，可以觀測到以下三點：首先，pPt＝構成了差分方程的特別解，可以將其視為模型的跨期均衡價格：p=，因為它是一個常數，所以是穩定均衡。由方程（6）引出了第二點，即表達式（p0-p）的意義。因為（p0-p）對應于cλt項中的常數c，所以（p0-p）的符號決定時間路徑是從均衡水平以上開始還是從以下開始（鏡像效應），而其大小則決定與均衡水平的遠近（標度效應）。最后一點，表達式-對應于cλt中的λ部分。根據模型的設定：β>0且δ>0，可以導出一個振蕩的時間路徑。正是這一事實導致了所謂蛛網現象。易知，若δ>βδ=βδ<β，依次對應的振蕩將為放大振蕩、單位振蕩和衰減振蕩。當且僅當δ<β時，即-=<1時，亦即強根絕對值小于1，時間路徑將趨近于穩定值p。

由下頁圖1（a）可知，當δ>β時，供求的相互作用將會產生如下放大振蕩：給定初始價格p0（這里假設高于p），順著箭頭，我們可在S曲線上讀出下一期的供給量（第1出清期）將為Q1。為使市場出清，第一期的需求量必須也為Q1，而這當且僅當價格確定在時p1，方能做到（見向下的箭頭）。現在，根據S曲線，價格p1會導致在第2期產生Q2的供給量，且為使市場在第2期出清，按照需求曲線，價格必須定在p2水平。重復這一推理，順著圖中的箭頭，我們便可以依次推出以后各期的價格和數量，圍繞著供求曲線結成“蛛網”。比較價格水平p0，p1，p2，…，我們不僅可以觀察到振蕩的變化的模式，而且也可以觀測到，隨著時間的推移，價格與均衡價格的偏離不斷擴大的傾向。具有這種由內向外結成的蛛網的時間路徑是發散的，振蕩是放大的。

與其相相對照的是，在圖1（b）中，δ<β，會結成一個指向中心的網。若我們順著箭頭從p0出發，將越來越接近于供求曲線的交點，即價格水平為p的位置。價格路徑雖然是振蕩的，但卻是收斂的。

在圖1（c）中，繪出了δ=β的情形，即=1的圖形。不難知道，當常數c固定時，-t在（-1）與1之間交替出現。于是，pNt=pHt+pPt=c（-1）t+p。這個公式告訴我們，p的時間路徑在p±c之間交替振蕩，即所謂單位振蕩。

（二）在薩繆爾森乘數——加速數相互作用模型中的應用

1. 結構

假設國民收入Yt由三種支出流組成：消費Ct、投資It、政府支出Gt。Gt被看成上期收入Yt-1的函數，而非本期收入Yt的函數。為簡化起見，假設Ct嚴格地與Yt-1成比例。作為一個“引致”變量，投資是消費者現行支出傾向的函數。正是通過這一引致投資，加速原理才得以進入模型。具體地，我們假設It與消費增量ΔCt-1=Ct-Ct-1成固定比例。而第三個支出流Gt，則視為外生變量，假設它是一個常數，并去掉下標以G表示之。

這些假定可以轉換成如下方程組：

Yt=Ct+It+GCt=γYt-1 （0<γ<1）It=α（Ct-Ct-1） （α>0） （7）

其中，γ表示邊際消費傾向，α表示加速數。

利用第二個方程，可用收入It將表示如下

It=α（γYt-1-γYt-2）=αγ（Yt-1-Yt-2）

將此式與Ct代入（7）中第一個方程并整理，模型可以化簡為一個方程：

Yt-γ（1+α）Yt-1+αγYt-2=G

或等價地（將下標前移兩個時期）

Yt+2-γ（1+α）Yt+1+αγYt=G （8）

由于它是一個具有常系數和常數項的二階線性差分方程，所以可用前面介紹的解法解之。

2.解法

（1）齊次系統的通解（YHt）

齊次系統為Yt+2-γ（1+α）Yt+1+αγYt=0

其特征方程為λ2-γ（1-α）λ+αγ=0

特征方程產生的兩個特征值為：

λ1，λ2=＝（9-1）

其中，Δ=γ2（1+α）2-4αγ。現討論如下：

首先，當Δ>0時，λ1≠λ2，有YKt=c1λt1+c2λt2； （9-2）

其次，當Δ=0時，λ=λ1，2=，有YKt=c1λt+c2tλt （9-3）

第三，當Δ<0時，λ1，2=±i，有YHt=Rt（A1cosθt+

A2sinθt） （9-4）

其中，R==；cosθ=且sinθ；A1≡c1+c2且A2≡（c1-c2）i。

（2）非齊次系統的特別解（YPt）

由公式（17），因n=2，1+a1+a2=1-γ（1+α）+αγ=1-γ≠0（因0<γ<0），故YPt= （9-5）

（3）非齊次系統的通解（YNt）

由公式（20），YNt=YHt+YPt

3.關于時間路徑收斂性的討論

由前面的討論，知道此差分方程產生的兩個根λ1，2=，其中，Δ=γ2（1+α）2-4αγ。下面我們準備花費一些精力討論Y的時間路徑的收斂性。因此，在Δ>0、Δ=0和Δ<0的情況下，需要區分衰減與放大兩種子情況。當然，通過引用一些數字例子來說明這種子情況是處理這一問題的簡單方式。不過我們還是設法求出收斂性和發散性的一般條件：盡管這很麻煩，但卻更有價值。

因為收斂性與發散性取決于λ1和λ2的值，又因為λ1和λ2的值取決于參數α和γ的值，所以，收斂與發散的條件應當可以用α和γ的值表示。為此，可以利用一元二次方程根與系數之間的關系將特征值λ1，λ2通過如下兩個方程聯系起來：

λ1+λ2=γ（1+α）λ1λ2=αγ （10）

在這兩個方程的基礎上，可以觀察到

（1-λ1）（1-λ2）=1-（λ1+λ2）+λ1λ2 =1-γ（1+α）+αγ=1-γ （11）

鑒于模型設定0<γ<1，可知0<1-γ<1，因此可知λ1，λ2必須滿足下面不等式

0<（1-λ1）（1-λ2）<1 （12）

首先，考察Δ>0情況下的收斂性問題，其兩個根為不同的實根。因為依據假設，α和γ均為正數，λ1λ2=αγ>0，這意味著λ1和λ2具有相同的代數符號。進而，因為λ1+λ2=γ（1+α）>0，所以可知λ1>0且λ2>0。因此，在這種情況下，時間路徑Yt不會產生振蕩。

盡管已知λ1和λ2的代數符號，但在這種情況下至少存在五種（λ1，λ2）值的組合，每種關于α和γ的對應值如下：

（1）0<λ1<λ2<1?圯（1-λ1）（1-λ2）=1-γ?圯0<1-γ<1?圯0<γ<1而αγ=λ1λ2<1。

（2）0<λ1<λ2=1?圯（1-λ1）（1-λ2）=1-γ=0?圯γ=1。

（3）0<λ1<1<λ2?圯（1-λ1）（1-λ2）=1-γ<0?圯γ>1。

（4）1=λ1<λ2?圯（1-λ1）（1-λ2）=1-γ=0?圯γ=1。

（5）1<λ1<λ2?圯（1-λ1）（1-λ2）=1-γ?圯αγ=λ1λ2>1。

可能性（1）強根的絕對值小于1，完全滿足條件（12），并與模型設定0<γ<1一致。在此可能性下，兩根之積必然也為正分數。由λ1λ2=αγ，這意味著αγ <1。相反，接下來的三種可能性都違背條件（12），并產生不可接受的γ值，因此，必須將它們排除掉。而可能性（5），兩根都大于1，故λ1λ2=αγ>1。在滿足條件（12）的情況下，它是一種可接受的結果｛存在不滿足（12）的情形，如λ1=11，λ2=21時，（1-λ1）（1-λ2）=（-10）×（-20）=200=1-γ?圯γ=-199<0，與假設γ>0相悖｝。結果，在第一種情況下，只有兩種可能接受的子可能性。第（1）種子可能性，強根的絕對值小于1，因而產生了一個收斂時間路徑。另一種是第（5）種子可能性，在剔除不滿足條件（12）的前提下，由于兩根絕對值都大于1，因而產生一個發散的時間路徑。但就和的值而言，收斂性與發散性的問題僅取決于αγ<1還是αγ>1。

其次，考察Δ=0情況下的收斂性問題。其兩個根為相等的實數根，其值為λ1=λ2=λ=。因為α和γ均為正數的假設，它的代數符號為正，因此仍然不存在振蕩。這里只需將λ的值分為三種可能性：

（6）0<λ<1?圯0<γ<1且αγ<1。

（7）λ=1?圯γ=1。

（8）λ>1?圯αγ>1。

在可能性（6），λ的絕對值小于1。因此，關于α和γ的含義與Δ>0情況下的可能性（1）完全一致。與此類似，可能性（8），λ的絕對值大于1，且僅在1<λ<2時滿足條件（12）。如果是這樣，它與可能性（5）的結果相同。而可能性（7）違背條件（12），必須被排除。所以只有兩種可接受的子情況。第一種子情況（可能性（6））產生一個收斂的時間路徑；而另一個子情況（可能性（8））產生一個發散的時間路徑。關于α和γ，收斂與發散的子情況仍然是分別與αγ<1和αγ>1相聯系的。

最后，在Δ<0的情況下，我們得到階梯波動，因而具有內生的商業周期。在此情況下，應當考察共軛復根λ1=λ2=u+iv的模（絕對值）R=，作為判定收斂性與發散性的線索。R=產生如下三種可能性：

（9）0

（10）R=1?圯αγ=1。

（11）R>1?圯αγ>1。

盡管上述幾種可能性都是可接受的，但僅有R<1這種可能性具有收斂的時間路徑。

總之，當且僅αγ<1當時，可以得到收斂的時間路徑。

（三）在通貨膨脹——失業模型中的應用

現在展示應用常數一階線性差分方程組的一個宏觀模型，該模型涉及通貨膨脹與失業問題。

1. 模型的構成

（1）菲利普斯關系與附加預期的菲利普斯關系

在通貨膨脹與失業問題的現代分析中，最廣泛使用的一個概念是菲利普斯關系。菲利普斯原來的公式是描述貨幣工資率與失業率之間負的經驗關系：

wt=f（Ut） f′（Ut）<0 （13）

其中，小寫字母w表示貨幣工資W的增長率，U表示失業率。所以，它僅與勞動市場有關。但在后來的應用中，已將菲利普斯關系調整為一種將通貨膨脹率與失業率聯系起來的函數。這種調整以下面觀點為基礎：成本加成定價是普遍存在的，從而正的w反映增長的工資成本，這必然帶有通貨膨脹的含義。而這又使得通貨膨脹率像w一樣是U的函數。但正的通貨膨脹壓力可能被（假定為外生并以T表示）勞動生產率的增長所抵消。具體而言，通貨膨脹效應當且僅當貨幣工資增長快于生產率增長時，方能具體表現出來。以小寫字母p表示通貨膨脹率，則可寫出：

pt=wt-T （14）

合并（13）和（14）并采用f（U）函數的線性形式，則可以得到調整的菲利普斯關系：

pt=α-T-βUt （α，β>0） （15）

最近，經濟學家喜歡采用附加預期的菲利普斯關系：

wt=f（Ut）+gπt （0

其中，π表示預期的通貨膨脹率。諾貝爾獎獲得者弗里德曼教授曾描述過（13′）所包含的思想：如果通貨膨脹趨勢在相當長時期內存在，人們便會形成某種通貨膨脹預期，并利用將這種預期納入其貨幣工資需求。因此，w應為π的增函數。將這種思想納入到（15）中，產生如下方程：

pt=α-T-βUt+gπt （00） （16）

（2）適應性預期

由于已經引入一個新的變量來表示預期的通貨膨脹，所以有必要假設通貨膨脹預期是如何具體形成的。我們這里采用適應性預期假設：

Δπt=j（pt-πt） （0

注意，此方程并不解釋π的絕對大小，而是描述其隨時間變化的方式。如果實際通貨膨脹率p超過預期通貨膨脹率π，那么，現在已經證明是過低的π將會向上調整（Δπt=πt+1-πt>0）。反之，若p低于π，則π就會向下調整。

（3）貨幣政策

可以認為，（16）和（17）構成了一個完整的模型。但是，由于在兩個方程中存在三個變量，所以，其中一個變量必須視為外生的。譬如，若將π和p視為內生的，則必須將U視為外生的。還有一個更好的選擇是引入第三個解釋變量U。這樣，模型會包含更豐富的行為特征。更重要的是，這將為我們提供一個考慮通貨膨脹對失業的反饋效果的機會。方程（16）告訴我們U是如何影響p的，但p無疑又會影響U。例如，通貨膨脹可能會影響公眾的消費儲蓄決策，因而影響到對國內產品的總需求，而這又會影響到失業率。甚至在政府需求管理政策的指導下，通貨膨脹率也會使得政策效果不同。在不同的通貨膨脹率條件下，一個給定的貨幣支出水平（財政政策）可能產生不同的實際貨幣擴張率。而這些，又會對產出和失業產生不同的影響。

為簡便計，我們僅考察通過貨幣政策傳遞的反饋。以M表示名義貨幣余額，名義貨幣余額的增長率以m（視為外生）來表示，假設

ΔUt=-k（m-pt+1） （k>0） （18）

由于變量現在成為的一個決定因素，所以模型現在包含了從通貨膨脹到失業的反饋。

2.經濟變量的時間路徑

（1）從模型到差分方程組

方程（16）、（17）和（18）構成了一個包含三個變量π、p和U的封閉模型：

pt=α-T-βUt+gπt （α，β>0；00）

消去其中一個變量，可以將模型化簡為一個一階差分方程組。假如消去p并合并同類項，可將模型重新寫成差分方程組：

πt+1=（1-j+jg）πt-jβUt+j（α-T）-kgπt+1+（1+βk）UT+1=Ut+k（k-T-M）

?圳1 0-kg 1+βkπt+1Ut+1=1-j+jg-jβ0 1πtUt+j（α-T）k（α-T-m）

（19）

方程組（19）即為這個模型含兩個變量的線性差分方程組的矩陣表達式。

為敘述方便起見，將（19）簡記為At+1=Bt + （20）

下面求解，并討論經濟變量的時間路徑。

（2）特別解

如果存在靜態平衡，（19）的特別解可以表示成π＝πt＝πt+1和U=Ut=Ut+1，沿用（20）的符號，即=t=t+1。于是有（A-B）=

其中，A-B=j（1－g） jβ-kg βk，則|A-B|=j（1-g） jβ-kg βk=

βjk 1-g 1-g 1=βjk≠0。因而（A－B）可逆，于是=（A-B）-1。

由（A-B）-1=（A-B）*且（A-B）*=βk -jβkg j（1-g）

可得＝βk -jβkg j（1-g）j（α-T）k[（α-T）-m]=

βjk（α-T）-βjk（α-T）-mgjk（α-T）+jk（1-g）[（α-T）-m]= m1/β[α-T-（1-g）m]

即π=m，U=1/β[α-T－（1-g）m]。

非齊次系統的特別解為Pt=（m，[α-T－（1-g）m]T （21）

將（21）的結果代入（16），易得

p=α-T-βU+gπ=（α-T）-[（α-T）+（1-g）m]+gm=m （22）

可見，均衡的通貨膨脹率與預期通貨膨脹率相同，且它們恰好等于貨幣擴張率。而U=1/β[α-T－（1-g）p]說明此方程僅與均衡的失業率和通貨膨脹率有關，所以我們認為它描述了長期菲利普斯關系。其中引起經濟學家廣泛關注的是g=1的情況。若g=1，則p項的系數為零，因而會從方程中消失。換言之，U將變成p的常函數。在此情況下的U值，被稱為自然失業率。這個結論具有明顯的政策含義：在長期中，通貨膨脹與失業這對孿生魔鬼并不存在像短期中所存在的那種替代關系。

（3）齊次系統的通解

沿用（20）的記法，此模型的齊次系統為：At+1=Bt。因為|A|=1+β≠0的原因，知道A可逆，故可將齊次系統標準化為方程（12）的形式：It+1=（A-1B）t，進而得到齊次系統的特征方程為：|λI-A-1B|=0。注意到：λI-A-1B?圳λA-B?圯|λA-B|=0?圳|λI-A-1B|=0

即可確定齊次系統的特征方程也可表示為：

|λA-B|=0 （23）

由（13）得

λ-（1-j+jg） jβ -λkj λ（1+βk）-1=0

?圯（1+βk）λ2-[1+gj+（1-j）（1+βk）]λ+（1-j+gj）=0 （24）

（24）是一個關于的一元二次方程，特征值存在三種情況。記判別式為：

Δ=[1+jg+（1-j）（1+βk）]2-4（1+βk）（1-j+jg）

可分述如下：

1）Δ>0，特征值λ1≠λ2，則屬于λ1，λ2的特征向量1，2線性無關，齊次系統的通解為：

Ht=c11λt1+c22λ2 （25）

2）Δ=0，特征值λ1=λ2=λ。此時有兩種子情況：

（a）當λ存在兩個線性無關的特征向量1 ，2時，齊次系統的通解為：

Ht=（c11+c22）λt （26-1）

（b）當僅有一個線性無關的特征向量時，齊次系統的通解為：

Ht=（c1λt +c2（+t）λt （26-2）

其中滿足方程（λA-B）=λ。

3）當Δ<0時，存在共軛的特征值λ1，λ2=u±iv。因系數矩陣為實矩陣，所以屬于λ1，λ2的特征向量也是共軛的特征向量1=+i與2=-i。此時齊次系統的通解為：

Ht＝Rt?骔c1（cosθt-sinθt）+c2（cosθt+dsin?諄t）」 （27）

其中，R=，cosθ=，sinθ=。

（4）非齊次系統的通解為：

XNt+XHt+XPt （28）

（5）關于動態路徑收斂性的討論

本模型中包含較多的參數，討論其收斂性稍有一點復雜，但仍可以應用特征值（根）與特征方程系數的關系來進行分析。具體地，由于兩個特征值λ1，λ2必定滿足下列兩種關系：

1）λ1+λ2==+（1-j） （29-1）

由β>0，00，易知λ1+λ2>0 （29-2）

2）λ1λ2= （30-1）

由0<（1-j）+gj≤1，可知0<λ1λ2<1 （30-2）

進而，在本模型中我們有：

（1-λ1）（1-λ2）=1-（λ1+λ2）+λ1λ2 =1--1+j+=>0 （31）

下面對三種情況分別考察：

（a）λ1≠λ2。因λ1λ2>0，所以λ1與λ2必取相同的代數符號。進而，因λ1+λ2>0，所以λ1>0且λ2>０，這意味著不會產生振蕩。由（31）可以推斷λ1與λ2均不會為1，否則（1-λ1）（1-λ2）將會等于零，與不等式所表明的含義相違。而一個根大于1，另一個根小于1的情況是不可接受的，否則（1-λ1）（1-λ2）<0，與（31）相悖。由此可知，λ1λ2∈（0，1）或λ1λ2∈（1，+∞）必存其一。而λ1λ2∈（1，+∞）與（31）矛盾。故當且僅當λ1λ2∈（0，1）時，的時間路徑是收斂的。

（b）λ1=λ2=λ。此時分析與前面并無本質不同。通過同樣的推理，我們可以斷定重根λ在本模型中只能是正分數時，的時間路徑依然是非振蕩且收斂的。

（c）至于λ1=λ2=u+iv時的情形，收斂性要求R=<0。而由（30-1）知λ1λ2=（u+iv）（u-iv）=u2-（iv）2=u2+v2=R2=

∈（0，1）?圯R∈（0，1）。因此，在第三種情況下，的時間路徑也是收斂的，盡管這次會出現階梯波動。

（6）數字的例子

為更直觀起見，現在我們展示一個具體數字的例子。令模型的三個方程取如下具體形式：

pt=-3Ut+πt

πt+1-πt=（pt-πt)

Ut+1-Ut=-（m-pt+1)

解 1）消去pt得差分方程組

πt+1=πt-Ut+-πt+1+Ut+1=Ut+-

?圯1 0- πt+1Ut+1=1 -0 1πtUt+ -

記t+1=πt+1Ut+1，t=πtUt，A=1 0- ，B=1 -0 1，

= -?圯At+1=Bt+

2）特別解（Pt）

令t+1=t=Pt?圯（A-B）Pt=

由|A-B|=0 - =≠0，（A-B）*= - 0?圯（A-B）-1=

- 0

可得

Pt=（A-B）-1= - 0 -= m

3）齊次系統的通解

（a）解特征方程

|λA-B|=0?圯λ-1 - λ-1=0?圯（λ-1）（λ-1）+λ=0

?圯20λ2-19λ+8=0

由判別式Δ=192-4×20×8=-279，得λ1λ2==u±iv。u=，v=，R2===?圯R2∈（0，1）?圯

R∈（0，1）。所以向量變量

t=（πt，Ut）T的時間路徑是衰減收斂于Pt=m，T的。

（b）求特征向量

令λ=，解線性方程組（λA-B）=，其中=（y1，y2）T。則得

（-1）y1+y2=0-×y1+（×-1）y2=0

由于λ=是特征值，|λA-B|=0，又由矩陣λA-B≠0，可知矩陣λA-B的秩是1。其兩列對應成比例。

從第一個方程（-1）y1=-y2

可得y2=-（-1）y1 =（1-）y1=×y1

令y1=，則y2=。于是可知：

屬于特征值λ1=的線性無關特征向量為：

1= =+i= + 0-i

屬于特征值λ2=的線性無關特征向量為：

2= =-i= - 0-i

其中，= ，= 0-。

依公式（1.23），得齊次系統的通解：

Ht＝Rt?骔c1（cosθt-sinθt）+c2（cosθt-dsinθt）」

=（）t c1 cos?諄t- 0-sinθt+

c2 0-cosθt+ sinθt

4）非齊次系統的通解

XNt=XHt+XP

三、 結束語

綜上所述，差分方程在離散經濟變量動態分析中的重要性和不可替代顯而易見。當然，本文僅對差分方程常數線性系統的應用進行了初步的展示，更廣泛的應用尚未涉及。盡管如此，仍可對差分方程在動態經濟分析中的執牛耳之勢有所管窺。且此處使用的基本方法可以直接或稍加變通移植到其他更廣泛的應用專題上。從這個意義上講，本文或能引起更多有識之士對差分方程在動態經濟分析方面應用的關注，是筆者的愿望。差分方程在動態經濟分析中應用的文獻頗多，在微觀、宏觀和計量經濟學等領域不乏巨匠的開創性論述。重在參與，不揣淺陋，為差分方程的經濟應用盡菲薄之力，亦是本文成章的主觀愿望。相信在越來越多的人共同努力下，差分方程在動態經濟分析應用的園地里會持續結出豐碩的科學成果。

參考文獻：

[1] 潘權.微積分[M].大連:東北財經大學出版社，2002:420.

[2] 安吉爾#8226;德#8226;拉#8226;弗恩特(Angel de la Fuent).經濟數學方法與模型[M].朱保華，錢曉明，譯.上海:上海財經大學出版社，2003:401.

[責任編輯 吳高君]