平頂山地區生產總值的變化趨勢及其區域差異研究

（平頂山學院數學與信息科學學院，河南平頂山467000）

摘要：利用1988—2008年平頂山地區及各縣市區的生產總值的數據，建立修正的復合曲線回歸模型，對未來五年平頂山地區及各縣市區的生產總值進行預測，并比較不同區域生產總值及其變化差異。

關鍵詞：平頂山地區 各縣市區 生產總值 變化

中圖分類號：F127 文獻標志碼：Ａ文章編號：１６７３－２９１Ｘ（２０11）26－０046－02

引言

2008年，平頂山地區完成地區生產總值1 067.7億元，按可比價格計算（下同），比上年增長13.6%，經濟總量躍上1 000億元的新臺階。其中，第一產業完成增加值101.4億元，增長5.6%；第二產業完成增加值696.3億元，增長15.1 %；第三產業完成增加值270億元，增長13.0 %。人均生產總值突破20 000元，達到21 998元，比上年增長13.2%。那么，在以后的幾年中，平頂山地區的生產總值的變化情況如何？各縣市區的生產總值的變化呢？又有何差異？本文將利用1988—2008年平頂山地區及各縣市區的生產總值的數據，建立修正的復合曲線回歸模型，對未來五年平頂山地區及各縣市區的生產總值進行預測，并比較不同區域生產總值及其變化差異，其結論會對地方政府有關部門制定經濟政策具有一定的參考價值。

一、平頂山地區及各縣市區生產總值變化趨勢的模型構建

（一）平頂山地區生產總值變化趨勢模型

根據1988—2008年平頂山地區生產總值的數據（來源于平頂山市統計局），研究平頂山地區生產總值的變化趨勢。

1.畫散點圖

首先用SPSS16.0軟件畫出平頂山地區生產總值y對時間t的散點圖，見圖1。

從散點圖看到，地區生產總值大致為指數函數形式，從經濟學角度看，當生產總值的年增長速度大致相同時，其趨勢線就是指數形式。而復合函數y＝b0b1t、增長曲線y＝exp（b0+b1t）、指數函數y＝b0exp（b1t）三個曲線方程實際上是等價的。考慮經濟意義，復合函數的形式與經濟意義更相吻合，故可建立復合函數曲線回歸模型。

2.建立復合曲線模型

復合曲線模型的一般形式為：

y＝b0b1t b0≥0，b1＞0

其中，b0，b1為待定參數。

3.模型的參數估計與模型檢驗

利用SPSS16.0以時間為自變量，平頂山地區的生產總值為因變量，作復合函數y＝b0b1t 的曲線回歸，估計出模型的參數b0，b1，并進行模型的檢驗。

由方差分析表中顯著性概率p值為0.000，可知在顯著性水平α＝0.05時，復合函數的回歸方程通過了顯著性檢驗，且復合函數回歸的判定系數R2＝0.981，說明擬合的效果很好。

表1可以看出b0＝424291.953，b1=1.158，從而可得復合函數曲線回歸方程為

y＝424291.953×1.158t（1）

由殘差圖發現殘差具有明顯的自相關，故用復合函數回歸方程作短期預測是不適宜的，需對該模型進行進一步的改進。

4.模型改進

為了消除誤差項的自相關性，對復合函數y＝b0b1t兩端取自然對數，得lny＝lnb0+tlnb1

令Y＝lny，β0＝lnb0，β1＝lnb1，于是將復合函數化為Y關于t的線性回歸方程

Y＝β0+β1t

則（1）式即為Y＝12.958+0.147t（2）

此時的D.W值為0.331，■≈1-0.5D.W＝1-0.5×0.331＝0.8345，查D.W表，n＝21，k＝2，顯著性水平α＝0.05，得dL＝1.22，dU＝1.42，由于D.W＝0.331＜1.22，可知殘差序列存在正自相關。

進一步采用迭代法消除自相關性。先進行第一次迭代，計算

Yt'＝Yt-0.8345Yt－1，Xt'＝Xt-0.8345Xt－1

其中Xt＝t，Xt-1＝t＝1。然后用Yt'對Xt'作一元線性回歸，利用SPSS16.0得Yt'對Xt'作一元線性回歸方程：Yt'＝2.147+0.149Xt'，即Yt＝0.8354Yt-1+0.02466t+2.271341此時的D.W＝0.743，■1-0.5D.W＝1-0.5×0.743＝0.6285，查D.W表，n＝20，k＝2，顯著性水平α＝0.05，得dL＝1.20，dU＝1.41，由于D.W＝0.743＜1.20，可知殘差序列仍存在正自相關。

然后進行第二次迭代，重復上述過程，計算

Yt''＝Yt'-0.6285Yt－1'，Xt''＝Xt'-0.6285Xt－1'

再用Yt''對Xt''作一元線性回歸，得Yt''對Xt''一元線性回歸方程為：Yt''＝0.777+0.170Xt''，即

Yt＝01.163Yt－1-0.524483Yt－2+0.010452t+0.847386（3）

此時的D.W＝1.626查D.W表，n＝19，k＝2，顯著性水平α＝0.05，得dL＝1.18，dU＝1.40，由于1.40＝dU＜D.W＝1.626＜4-dU＝2.60，可知殘差序列無自相關性，至此已消除自相關性，迭代結束。

因（3）式是在（2）式的基礎上消除自相關性得到的，又因（2）式中Y＝lny，還原成為原始變量的方程為：

lnyt＝1.463lnyt－1-0.524483lnyt－2+0.010452t+0.847386

＝lnyt－11.463-lnyt-20.524483+lne0.010452t·e0.847386

＝ln（■·e0.010452t·e0.847386）

＝ln（■·e0.010452t+0.847386）

故有yt＝■·e0.010452t+0.847386

即為改進后的模型，可進一步根據此模型進行預測。

5.預測

為了檢驗預測的精度，利用改進后的最終模型對2004-2008年平頂山地區生產總值進行預測并與真實值進行對照分析，見表2。

進一步計算出標準誤差為224830.2067，結合表2可見，該模型對生產總值的預測的精度較高。利用該模型對平頂山地區未來5年的生產總值進行預測，在EXCEL中計算的結果見表3。

（二）各縣市區生產總值變化趨勢模型

與平頂山地區生產總值的變化趨勢建模過程一樣，根據1988-2008年平頂山各縣市區的生產總值的數據，分別對各縣市區生產總值的變化趨勢建立模型，如下：

寶豐縣 yt＝■·e0.011525t+0.928618

葉縣yt＝■·e0.01599648t+1.19313904

魯山縣 yt＝■·e0.012001626t+0.986996748

郟縣yt＝■·e0.00601948446t+0.46041581186

舞鋼市 yt＝yt－10.757·e0.049572t+2.464428

汝州市 yt＝■·e0.005339581t+0.472996838

四個區（新華、衛東、湛河、石龍） yt＝■·e0.0172597425t+1.410978515

通過檢驗得到以上模型對生產總值的預測精度均較高。由以上模型分別預測2009—2013年各縣市區的生產總值如表4。

三、結論

在以上研究的基礎上，通過比較分析可得到以下結論：

1.平頂山地區及各縣市區的生產總值均隨著年份的增長而增長。

2.未來五年四個區與汝州市的生產總值始終高于其他縣市；舞鋼市2009—2011年生產總值均低于寶豐縣，2011—2013年生產總值則高于寶豐縣；其余各縣未來五年生產總值由大到小依次為：寶豐縣、葉縣、郟縣、魯山縣。

3.除舞鋼市生產總值增長率逐漸上升外，其他各縣市區生產總值的增長率均隨年份的增長而呈下降趨勢。其中寶豐縣、四個區、葉縣生產總值增長率非常接近且下降的幅度最大，汝州市與郟縣次之，魯山縣最緩。

附表1988—2008年平頂山地區及各縣市區的生產總值單位：萬元

收稿日期：2011-07-12

基金項目：河南省教育廳自然科學研究項目（2010C110002）

作者簡介：劉展（1981-），女，湖北宜昌人，講師，碩士，從事數學模型、數學教育和統計學研究。

參考文獻：

[1] 姚翠友.基于指數曲線模型的北京地區生產總值增長趨勢分析[J].首都經濟貿易大學學報，2008，（5）.

[2] 徐建龍.對青海生產總值增長影響因素的分析[J].西北民族大學學報，2006，（3）.

[3] 何曉群.實用回歸分析[M].北京：高等教育出版社，2008.

[4] 張紅兵，賈來喜，李潞.SPSS寶典[M].北京：電子工業出版社，2007.

[責任編輯張 凌]