數(shù)學教學中不定積分概念的辨析

【摘要】本文旨在澄清一個數(shù)學概念，即“不定積分”是一個不確定的個體函數(shù)，不是群體函數(shù).

【關鍵詞】高等數(shù)學；一元微積分；不定積分；概念

在學習高等數(shù)學一元微積分的內容時，面對各種版本的數(shù)學教材，關于“不定積分”這個數(shù)學概念的解釋，讓人感到困惑.各種教材對不定積分的解釋大致分為兩類.第一類觀點認為：不定積分是一個不確定的個體函數(shù)，是一個其導數(shù)都相同的、一族函數(shù)的代表.第二種觀點則認為：不定積分是具有相同導數(shù)的一群函數(shù)，是一個函數(shù)集合.本人贊同第一類觀點，目前持這種觀點的高等數(shù)學教材僅占少數(shù)，而多數(shù)教材則持有第二種觀點.

一、各種教材對不定積分的解釋

（一）“不定積分是一個不確定的個體函數(shù)”的觀點

有一類觀點認為：不定積分是一個不確定的個體函數(shù)，是一個其導數(shù)都相同的、一族函數(shù)的代表.這種觀點體現(xiàn)在下列各教材中：

如，1988年4月高等教育出版社出版的同濟大學數(shù)學教研室主編的《高等數(shù)學》（第三版）上冊第231面“定義2 在區(qū)間I內，函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為f(x)（或f(x)dx）在區(qū)間I內的不定積分，記作∫f(x)dx.不定積分∫f(x)dx可以表示f(x)的任意一個原函數(shù)”.

定義 函數(shù)f(x)的原函數(shù)的一般表達式稱為f(x)的不定積分，記為∫f(x)dx.

又如，2005年4月高等教育出版社出版的常州輕工職業(yè)技術學院馮寧主編的《高等數(shù)學》第86面“……任一原函數(shù)都可表達為F(x)+C的形式，即原函數(shù)的全體由形如F(x)+C的函數(shù)組成（C為任意常數(shù)）”.

定義2 若F(x)是f(x)在區(qū)間I內的一個原函數(shù)，則F(x)+C（C為任意常數(shù)）稱為f(x)在該區(qū)間內的不定積分，記作∫f(x)dx，即∫f(x)dx=F(x)+C.

再如，2008年6月國防科技大學出版社出版的鄭桂梅主編的《高等數(shù)學》第102面“……定義2 函數(shù)f(x)的原函數(shù)的一般表達形式F(x)+C的形式稱為f(x)的不定積分，記為∫f(x)dx”.

（二）“不定積分是具有相同導數(shù)的一群函數(shù)”的觀點

對于不定積分解釋的另一種觀點則認為：不定積分是一群函數(shù)，是具有相同導數(shù)的一群函數(shù)，是一個函數(shù)集合.在相當多的數(shù)學教材中對不定積分持有該種觀點.現(xiàn)列舉如下.

1978年5月人民教育出版社再次印刷出版的、樊映川等編寫的第二版《高等數(shù)學講義》（上冊）第328面（第七章）不定積分的定義“函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)的全體叫做函數(shù)f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx”.

1980年10月遼寧人民出版社出版的、［日］田島一郎、渡部隆一、宮崎浩（編）著的第一版《微分 積分》第三章（第101面）“f(x)的原函數(shù)的全體的集合叫做f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx”.

1988年5月高等教育出版社出版的、李志熙等編寫的第一版《經(jīng)濟數(shù)學基礎 微積分》第五章（第156面）“定義5.2 函數(shù)f(x)的全部原函數(shù)叫做f(x)的不定積分，記為∫f(x)dx”.

1990年4月南京大學出版社出版的、許紹溥等編寫的《數(shù)學分析教程》（上冊）第6章（第277面）“f(x)的全體原函數(shù)稱為它的不定積分，記為∫f(x)dx”.

1991年10月復旦大學出版社出版的、歐陽光中、姚允龍編寫的《數(shù)學分析》（上冊）第九章（第222面）不定積分的定義“定義2 f的原函數(shù)全體F+C，記為∫f(x)dx”.

1993年1月藍天出版社出版的、高等專科學校金融類教材《微積分》第五章（第163面）“定義5.2 函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)稱為f(x)的不定積分，記為∫f(x)dx”.

1994年10月高等教育出版社出版的、劉玉璉主編的第二版《數(shù)學分析》（上冊）第七章（第280面）“定義2 若函數(shù)f(x)在區(qū)間I存在原函數(shù)F(x)，則所有原函數(shù)F(x)+C，C∈R，稱為函數(shù)f(x)的不定積分，表為∫f(x)dx=F(x)+C（C∈R）”.

2003年1月對外經(jīng)濟貿易大學出版社出版的、董璽印等編著的“211工程”系列教材（第二版）《微積分》第三章（第185面）“定義3.2 如果已知函數(shù)f(x)在某區(qū)間D上存在原函數(shù)，則稱f(x)在區(qū)間D上的所有原函數(shù)為f(x)在區(qū)間D上的不定積分，記做∫f(x)dx(x∈D)…….在理解這一定義時，我們應當注意以下幾點：第一，不定積分是被積函數(shù)的所有原函數(shù).因此是個集合概念……”.

2005年4月高等教育出版社出版的、曾文斗主編的新世紀高等職業(yè)教育文化基礎課程教材《經(jīng)濟數(shù)學》（少學時）第五章（第85面）“定義5.3 函數(shù)f(x)的全部原函數(shù)稱為f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx”.

2005年11月高等教育出版社出版的（第9次印刷）、面向21世紀課程教材《大學文科數(shù)學》（第84面）“定義2 f(x)在區(qū)間I上的全體原函數(shù)稱為f(x)在I上的不定積分，記為∫f(x)dx”.

2006年7月西南師范大學出版社出版的、全國高職計算機專業(yè)教材《高等應用數(shù)學》（第58面）“定義4.2 如果函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，則稱f(x)的全體原函數(shù)F(x)+C（C為任意常數(shù)）為f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx，即∫f(x)dx=F(x)+C”.

2007年6月中國鐵道出版社出版的、張錦麟、時曉文主編的（高職高專“十一五”規(guī)劃教材）《高等數(shù)學》（第86面）“定義2 函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)的集合稱為f(x)的不定積分，記為∫f(x)dx”.

2007年6月機械工業(yè)出版社出版的，普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材、高職高專公共基礎課規(guī)劃教材《應用數(shù)學基礎》（第94面）“定義2 如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，那么f(x)的全部原函數(shù)F(x)+C稱為f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx，即∫f(x)dx=F(x)+C”.

2008年4月機械工業(yè)出版社出版的、方曉華主編的普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材《高等數(shù)學》（理工科用）（第二版）（第64面）“定義2 如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，那么f(x)的所有原函數(shù)F(x)+C叫做f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx”.

2008年6月化學工業(yè)出版社出版的、曹瑞成、姜海勤主編的（高職高專“十一五”規(guī)劃教材）《高等數(shù)學》（第90面）“定義4.2 設F(x)為f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，那么f(x)在區(qū)間I上的所有原函數(shù)F(x)+C（C為任意常數(shù)）稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記作∫f(x)dx”.

2008年4月北京交通大學出版社出版的、趙紅革、顏勇主編的《高等數(shù)學》（第95面）“定義4.2 設函數(shù)F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則f(x)的所有原函數(shù)F(x)+C稱為f(x)的不定積分，記作∫f(x)dx”.

2010年8月國防工業(yè)出版社出版的、丁匡平主編的《應用高等數(shù)學》（第75面）“定義2 函數(shù)f(x)在某區(qū)間I內的全部原函數(shù)稱為f(x)在區(qū)間I內的不定積分，記作∫f(x)dx=F(x)+C”.

二、本人持有的觀點及其論述

對于上述兩類觀點，本人贊同“不定積分是一個不確定的個體函數(shù)，是一個其導數(shù)都相同的、一族函數(shù)的代表”的觀點.本人認為：在某區(qū)間I上，若導數(shù)F′(x)=f(x)，取C為任意實數(shù)，則原函數(shù)F(x)與不定積分∫f(x)dx（=F(x)+C）在區(qū)間I上都是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù).原函數(shù)F(x)與不定積分∫f(x)dx（=F(x)+C）的關系不是個體與群體（全體）的關系，而是兩者都是個體.原函數(shù)F(x)是一個確定的個體函數(shù)，而由于任意實數(shù)C的不確定性，不定積分F(x)+C則是一個不確定的個體函數(shù).

高等數(shù)學作為向學生傳授數(shù)學知識的一門重要的基礎課程，而不定積分作為微積分學的一個重要的數(shù)學概念，在高等數(shù)學的教材中，尤其是在一些國家級規(guī)劃數(shù)學教材中，對不定積分更應該強化其數(shù)學概念上的精準性和嚴密性.數(shù)學界對不定積分應有一個統(tǒng)一和正確的定義和解釋.

【參考文獻】

［1］同濟大學數(shù)學教研室.高等數(shù)學（第三版）上冊［M］.高等教育出版社，1988:231.

［2］馮寧.高等數(shù)學［M］.高等教育出版社，2005:86.

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［4］［日］田島一郎，渡部隆一，宮崎浩.微分 積分（第一版）［M］.遼寧人民出版社，1980:101.

［5］許紹溥，等.數(shù)學分析教程（上冊）［M］.南京大學出版社，1990:277.

［6］劉玉璉.數(shù)學分析（第二版）上冊［M］.高等教育出版社，1994:280.

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［9］鄭桂梅.高等數(shù)學［M］.國防科技大學出版社，2008:102.

［10］方曉華.高等數(shù)學（理工科用）（第二版）［M］.機械工業(yè)出版社，2008:64.

［11］趙紅革，顏勇.高等數(shù)學［M］.北京交通大學出版社，2008:95.

［12］丁匡平.應用高等數(shù)學［M］.國防工業(yè)出版社，2010:75.