淺談如何求解遞推數列通項

【摘要】可以遞推找出規律的數列就是遞推數列，找出這個規律的通項式就是遞推數列的通項公式.本文主要研究近幾年高考中出現的幾種遞推數列通項的求法.

求數列的通項公式是高考的重點，而求數列的遞推公式則是近幾年高考數學的重點，本文歸納幾種常見的遞推數列的解法，以試圖找出它們的一些性質.首先，我們要先明確遞推公式的定義：如果數列{an}的第n項與它前一項或幾項的關系可以用一個式子來表示，那么這個式了叫做這個數列的遞推公式.而用遞推公式表示的數列就叫做遞推數列.

一、an+1=a#8226;an+b型

當a=1時，可知an+1=an+b是公差為b的等差數列；

當a≠1時，令an+1+A=a(an+A)an+1=a#8226;an+aA-A，∴aA-A=bA=ba-1，可令bn=an+Abn+1=abn.

例1 設數列{an}的首項a1∈(0，1)，an=3-an-12，n=2，3，4，…

（1）求{an}的通項公式.

（2）設bn=an3-2an，證明bn

解析 （1）由an=3-an-12，n=2，3，4，…整理得1-an=-12(1-an-1).

∵1-a1≠0，所以{1-an}是首項為1-a1，公比為-12的等比數列，得an=1-(1-a1)-12n-1.

（2）由（1）可得00，則b2n+1-b2n=a2n+1(3-2an+1)-a2n#8226;(3-2an)=3-an22#8226;3-2×3-an2-a2n(3-2an)=9an4(an-1)2.

又由（1）知an>0且an≠1，故b2n+1-b2n>0，因此bn

點評 這種類型的遞推關系在高考中是比較常見的，應屬于常規題.

二、an+1=a#8226;an+f(n)型

例2 在數列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*.

（1）證明數列{an-n}為等比數列.

（2）求數列{an}的前n項和Sn.

（3）證明不等式Sn+1≤4Sn對任意n∈N*都成立.

解析 （1）由題設an+1=4an-3n+1，得an+1-(n+1)=4(an-n)，n∈N*.

又a1-1=1，∴數列{an-n}是首項為1，且公比為4的等比數列.

（2）由（1）可知an-n=4n-1，于是數列{an}的通項公式為an=4n-1+n，所以，數列{an}的前n項和Sn=4n-13+n(n+1)2.

（3）對任意的n∈N*，Sn+1-4Sn=4n+1-13+(n+1)(n+2)2-44n-13+n(n+1)2=-12(3n2+n-4)≤0，所以不等式Sn+1≤4Sn，對任意n∈N*都成立.

點評 此類問題可轉化為類型一解決.

三、an+1=a#8226;an+b#8226;an-1型

一般利用設an+1+Aan=B(an+Aan-1)，則an+1=(B-A)an+BAan-1，∴B-A=a，BA=b來解決問題.

例3 已知數列{an}滿足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an(n∈N*).

（1）證明：數列{an+1-an}是等比數列.

（2）求數列{an}的通項公式.

（3）若數列{bn}滿足4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn(n∈N*)，證明：{bn}是等差數列.

解析 本題主要考查數列、不等式等基本知識，考查化歸的數學思想方法，考查綜合解題能力.

（1）∵an+2=3an+1-2an，∴an+2-an+1=2(an+1-an).

∵a1=1，a2=3，∴an+2-an+1an+1-an=2(n∈N*)，

∴{an+1-an}是以a2-a1=2為首項，2為公比的等比數列.

（2）由（1），得an+1-an=2n(n∈N*)，

∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1

=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1(n∈N*).

（3）∵4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn，

∴4(b1+b2+…+bn)-n=2nbn，

∴2［(b1+b2+…+bn)-n］=nbn，①

2［(b1+b2+…+bn+bn+1)-(n+1)］=(n+1)bn+1.②

用②-①，得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn，

即(n-1)bn+1-nbn+2=0，③

nbn+2-(n+1)bn+1+2=0.④

用④-③，得nbn+2-2nbn+1+nbn=0，

即bn+2-2bn+1+bn=0，

∴bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*)，∴{bn}是等差數列.

點評 這屬于三重遞推關系，也可利用上面的公式求得.

求遞推數列的通項公式的思維方向是轉化與化歸，這樣處理問題的目的是為了化未知為已知，使用我們熟悉的等差數列和等比數列來解決問題是理所當然的.根據不同的遞推公式，采用相應的變形手段，可以達到轉化的目的.