類比推理在數列教學中的作用

【摘要】在數學中，類比是發現概念、方法、定理和公式的重要手段，也是開拓新領域和創造數學新分支的重要途徑.學生在數學的學習中應該學會運用這種獨特的思維方法，教師在教學過程中則應努力培養學生運用類比方法進行合情推理的能力，使他們的思維更具創造力.

【關鍵詞】類比推理；數列教學

在高中數列教學中如果采用類比教學的方法，那么效果將會非常顯著.類比推理是根據兩個或兩類對象之間在某些方面的相似或相同，從而猜測它們在其他方面也可能相似或相同的一種猜想.在中學數學教學中，用類比猜想，可由兩個命題中條件的相似，去猜想結論的相似；也可由兩個命題條件結論的相似，去猜想推理方法的相似；還可由兩個概念的相似，去猜想解題思路的相似.利用類比來啟發學生進行思維活動，就是啟發學生把要研究的新問題和與之類似的原有知識、方法進行比較，使學生通過聯想，獲得解決問題的思路和方法，或建立新的數學結構.

我們先來比較一下等差數列與等比數列：數列{an}為等差數列，d為公差；數列{bn}為等比數列，q為公比.

1.定 義

等差數列：an+1-an=d(n∈N+).

等比數列：bn+1bn=q(n∈N+).

2.通項公式

等差數列：an=a1+(n-1)d(n∈N+).

等比數列：bn=b1#8226;qn-1(n∈N+).

3.中項定理

等差數列：an-1+an+1=2an(n≥2，n∈N+).

等比數列：bn-1#8226;bn+1=b2n(n≥2，n∈N+).

4.性 質

等差數列：若m+n=p+q，則am+an=ap+aq（m，n，p，q均為正整數）.

等比數列：若m+n=p+q，則bm#8226;bn=bp#8226;bq(m，n，p，q均為正整數）.

上面內容中等比數列的相關內容都可以由等差數列相對應的內容類比得到.從上面的比較不難看出，只要把等差數列中的公差d換成等比數列中的公比q，并將“加、減、乘、除”依次變成“乘、除、乘方、開方”運算就可以相應地產生等比數列的定義、通項公式.等差數列中的公差d=0通常類比成等比數列中的公比q=1.

下面介紹數列教學中幾種常見的類比類型：

一、類比概念

數學概念是整個數學知識結構的基礎.數學概念的教學是進行能力訓練，實施素質教育的重要渠道.在引入新概念的教學中，首先就要使學生“感知”新材料，為了把能力訓練和素質教育有意識地融入課堂教學中，教師可以根據教學內容精心設計這種感知的過程，因為這種“感知”過程也正好是對學生能力的一種有益訓練.如在上面提到的由等差數列的定義類比得到等比數列的定義，效果非常好.下面再看個例子：

定義“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和.

已知數列{an}是等和數列，且a1=2，公和為5，那么a18=，這個數列的前n項和Sn的計算公式為.

分析 解決本題的關鍵是理解即時定義“等和數列”.

解 由等和數列的定義，知a1＋a2＝a2＋a3＝a3＋a4＝…即有a1＝a3＝a5＝…且a2＝a4＝a6＝…又a1＝2，公和為5，得a18＝a2＝5－2＝3.

即有an＝2，n為奇數，3，n為偶數.

故當n為偶數時，Sn=52n.當n為奇數時，Sn=52n-12.

評注 類比某些熟悉的概念產生的類比推理型試題，在求解時可以借助原概念所涉及的基本方法與基本思路.

二、類比性質

近幾年各地高考、模考試卷中多次出現數列性質類比問題，如：

1.在等差數列{an}中，前n項和Sn=a1+a2+…+an=n(a1+an)2=na1+n(n-1)2d，類比上述性質，相應地，在等比數列{bn}中前n項和Tn=.Tn=b1#8226;b2#8226;…#8226;bn=(b1#8226;bn)n2=bn1#8226;qn(n-1)2.

2.若數列{an}是等差數列，則有數列bn=a1+a2+…+ann也是等差數列，類比上述性質，相應地，若數列{cn}是等比數列，且cn>0，則有dn=，也是等比數列.dn=nc1#8226;c2#8226;…#8226;cn.

證明 dn=nc1#8226;c2#8226;…#8226;cn，dnn=c1#8226;c2#8226;…#8226;cn=c1#8226;(c1q)#8226;(c1q2)#8226;…#8226;(c1qn-1)=cn1#8226;q1+2+…+(n-1)=cn1#8226;qn(n-1)2.

∵cn>0，∴dn>0.

∴dn=c1#8226;qn-12，dn+1=c1#8226;qn2，dn+1dn=q12.

∴{dn}為等比數列.

評注 從一個特殊式子的性質入手產生類比推理型問題，求解時要認真分析兩者之間的聯系與區別，深入思考兩者的轉化過程是求解的關鍵.

通過上面的幾種情況可以看出在數列教學中如果運用類比，那么效果將更加顯著.在整個數學中有不少重大發現乃至有關解題方法是由類比推理提供線索的，它具有發現的功能，是獲取新知識的工具.總之，在我們平時的學習與生活中處處充滿著類比，類比也是探索問題、解決問題與發現新結果的一種卓有成效的思維方法.在數學中，類比是發現概念、方法、定理和公式的重要手段，也是開拓新領域和創造數學新分支的重要途徑.學生在數學的學習中應該學會運用這種獨特的思維方法，教師在教學過程中則應努力培養學生運用類比方法進行合情推理的能力，使他們的思維更具創造力.

最后引用G.波利亞所說：“如果把類比猜測的似真性質當作肯定的，那將是愚蠢的.但是忽視這種似真的猜測將是同樣愚蠢甚至更為愚蠢的.”因此我們要重視類比，應用類比.