高等數(shù)學中定理逆命題的反例研究

【摘要】在高等數(shù)學教學過程中，經(jīng)常遇到定理逆命題不真的情況，而學生又容易當成正確的來用，如何通過一種簡單而易于理解的方式讓學生明白那些不真的逆命題便尤為重要.通過教學過程中的具體實踐，歸納研究了利用反例來推翻一些不真的定理逆命題.

【關鍵詞】高等數(shù)學；定理；逆命題；反例

基金項目：河南省教育科學“十一五”規(guī)劃課題（2009-JKGHAZ-020）；河南工業(yè)大學教學研究立項重點研究項目（2009GJYJ-A19）

高等數(shù)學中很多定理的逆命題往往是不成立的，而這些不成立的逆命題又很容易被學生誤以為是正確的，從而用到解題過程當中，造成錯誤的解法和結果.于是，在教學過程中如何簡明扼要地推翻這些不成立的逆命題便顯得尤為重要.我們都知道，高等數(shù)學中要證明一個命題是正確的，需要非常嚴密的論證過程，而要說明一個命題是錯誤的，只需舉出一個推翻結論的例子就可以了，也就是我們通常所說的反例.在講解一些逆命題不正確的定理時，合理利用反例不但可以簡單明了地讓學生掌握所學定理，而且可以讓學生深入思考、理解定理的本質，激發(fā)他們研究數(shù)學問題的興趣，提高學習效率.下面結合我們在高等數(shù)學教學過程中的具體實踐，對一些容易引起學生混淆且教科書并未明確講解的定理逆命題的反例進行歸納性研究.

1.無界變量不一定是無窮大量

無窮大量一定是無界變量，這是一個很容易證明的定理，但其逆命題不真，而學生往往很容易誤以為無界變量也一定是無窮大量.這里可舉反例：xn=n，n=2k，1n，n=2k+1，k為正整數(shù).

當n→∞時，xn是無界變量，但由于n→∞時，子數(shù)列1n→0，顯然xn不是無窮大量.

2.有原函數(shù)的函數(shù)不一定連續(xù)

連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)，這是在不定積分一章提出而在微積分基本定理一節(jié)得以證明的定理，很多同學認為有原函數(shù)的函數(shù)也一定是連續(xù)的，其實有原函數(shù)的函數(shù)并不一定是連續(xù)的.可舉反例：F(x)=x2sin1x，x≠0，0，x=0.由于F′(x)=f(x)=2xsin1x-cos1x，x≠0，0，x=0，（F(x)在x=0處的導數(shù)要用定義來求），所以F(x)為f(x)的一個原函數(shù)，但是f(x)在點x=0是不連續(xù)的.

3.多元函數(shù)可微分，其偏導數(shù)不一定連續(xù)

在多元函數(shù)全微分一節(jié)中有定理：若函數(shù)z=f(x，y)的偏導數(shù)zx，zy在點(x，y)連續(xù)，則函數(shù)在該點可微分.該定理在教材中已經(jīng)嚴格證明，但其逆命題卻不真，也就是說，若函數(shù)z=f(x，y)在點(x，y)可微分，其偏導數(shù)zx，zy在點(x，y)并不一定連續(xù).如果直接告訴學生這個結論的話，可能會很難讓他們立刻接受.可舉反例：z=f(x，y)=(x2+y2)sin1x2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0，利用偏導數(shù)的定義易求得fx(0，0)=0，fy(0，0)=0，所以Δz-［fx(0，0)#8226;Δx+fy(0，0)#8226;Δy］=［(Δx)2+(Δy)2］sin1(Δx)2+(Δy)2，則容易得出當ρ=(Δx)2+(Δy)2→0時，Δz-［fx(0，0)#8226;Δx+fy(0，0)#8226;Δy］是較ρ高階的無窮小，即函數(shù)f(x，y)在點(0，0)處是可微分的.另一方面，由于當x2+y2≠0時，zx=fx(x，y)=2xsin1x2+y2-xx2+y2cos1x2+y2，則lim(x，y)→(0，0)fx(x，y)≠0，同理可得lim(x，y)→(0，0)fy(x，y)≠0，所以偏導數(shù)zx，zy在點(0，0)不連續(xù).舉此反例不但可以讓學生了解該逆命題是不真的，而且可以讓學生進一步明確如何去判定多元函數(shù)在一點的可微性，可謂一舉多得.

4.收斂的交錯級數(shù)不一定滿足萊布尼茨條件

若交錯級數(shù)∑∞n=1(-1)n-1un滿足條件：（1）un≥un+1(n=1，2，3，…)；（2）limn→∞un=0，則交錯級數(shù)∑∞n=1(-1)n-1un收斂.這是無窮級數(shù)一章已經(jīng)證明的一個定理，但其逆命題是個假命題.很多同學在學習完這個定理后，會誤認為收斂的交錯級數(shù)一定要滿足定理中的兩個條件（萊布尼茨條件），事實上，收斂的交錯級數(shù)不一定滿足萊布尼茨條件.可舉反例：∑∞n=2(-1)n-1n+(-1)n-1，容易觀察到該交錯級數(shù)中，1n+(-1)n-1不是一直大于1n+1+(-1)n的（如n=5時），即該級數(shù)不滿足定理中的萊布尼茨條件.將該級數(shù)的一般項分子分母同乘以n-(-1)n-1，則∑∞n=2(-1)n-1n+(-1)n-1=∑∞n=2(-1)n-1n-1n2-1=∑∞n=2(-1)n-1nn2-1-∑∞n=21n2-1，右側是兩個收斂級數(shù)的差仍收斂.由此可見，不滿足萊布尼茨條件的交錯級數(shù)亦可收斂.

以上是我們在教學過程中歸納出來的，容易讓學生理解且教材中并未提及的四個反例.在高等數(shù)學的教學過程中，適當?shù)囊胍恍┓蠢?，對幫助學生正確理解和運用定理，掌握所學知識的本質，提高課堂學習效率都會起到良好的促進作用.因此，在教學過程中，正確運用反例來提高教學效率是必要的.

【參考文獻】

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