導數在經濟學中的應用研究

【摘要】隨著市場經濟的不斷發展和規范，應用近代數學知識來對經濟領域中的相關問題進行研究，有著非常重要的意義.本文主要針對在經濟工作中導數的作用進行簡單的研究.

【關鍵詞】導數；經濟學；邊際變換；彈性系數

1.導數在邊際變化問題中的應用

經濟學中的編輯變化指的就是：在某些經濟函數中，應變量對自變量的變化率.例如，在經濟學領域中的兩個經濟量x和y，如果這兩個經濟量存在y=f(x)的函數關系，并且變量y對于變量x的導數y′=f′(x)存在，那么就可以利用導數來求變量y對于變量x的邊際變化.

經濟學領域中常見的邊際變化有：

（1）邊際成本，即某企業產品總成本C對于產量X的變化率.邊際成本可以通過成本對產量的導數：C′=C′(X)計算出來.

（2）邊際需求，即某種商品市場上的需求量Q對于產品的單價P的變化率.邊際需求可以通過需求量對于單價的導數：Q′=Q′(X)計算出來.

（3）邊際收入，即企業總收入R對于總產量X的的變化率.邊際收入可以通過總收入對總產量的導數：R′=R′(X)計算出來.

（4）邊際利潤，企業總利潤=總收入-總成本，即L=R-C，從而通過對產量變量X的導數：L′(X)=R′(X)-C′(X)計算出企業邊際利潤等.

例1 企業某種產品的總成本C（萬元）與產品數量X（萬件）之間的函數關系為：C(X)=0.02X3-0.4X2+6X+100（萬元），問：當這種產品的產量為X=10（萬件）的時候，從降低成本的角度來看，是否可以繼續增加產量？

解 當X=10時，有C(10)=0.02×103-0.4×102+6×10+100=140（萬元），每件產品的成本為AC=C(10)10=14010=14（元/件）.

根據邊際成本理論，得C′(X)=0.06X2-0.8X+6，所以在生產10萬件產品時的邊際成本是C′(10)=0.06×102-0.8×10+6=4（元/件），從這可以看出在生產水平為10萬件時，每多生產1件產品，總成本增加4元，比14元/件的成本要低.因此，單純從降低單件成本的角度來看，應該繼續提高產品的生產產量.

2.導數在彈性系數問題中的應用

彈性指的是在經濟學函數中應變量變化率與自變量變化率的比值.設函數y=f(x)，并且函數可導，則彈性=ΔyyΔxx，即函數應變量y的相對改變量Δyy與函數自變量x的相對改變量的比就稱之為這個函數的彈性.在經濟學函數中，彈性能夠較好地描述一個經濟變量由于另外一個經濟該變量變動時的敏感程度.

例2 某商品市場需求量Q與其價格P之間的函數關系為Q(P)=-P2-P+650，求當商品每件售價為10元漲價為每件11元時，對市場需求的影響.

解 Q(10)=(-102-10+560)=540，ΔP=1（元/件），價格的該變量為ΔPP=110=10%，ΔQ=(-112-11+650)-(-102-10+650)=-22（件），ΔQQ=-22540=-4.07%，從而最后得出市場需求量在價格為10元/件時的對價格的彈性為-4.07%10%=-0.407%.

說明 在商品價格為10元/件時，如果商品價格有10%的浮動，那么市場的需求量有0.407%的相反方向浮動.從而比較客觀地反映出了該商品市場需求對價格變化的敏感程度.同樣的思想還可以應用于經濟領域中產品產量變化對于勞動力變化的敏感程度分析等方面.

3.結束語

函數的導數能夠清晰地反映函數在自變量變化時，應變量的變化趨勢，在求函數單調性和極值方面也有應用.這在經濟學領域有著非常重要的意義，在經濟學領域有著非常廣泛的應用.為此，本文主要對導數在經濟學領域中的邊際問題以及彈性系數求解這兩個方面的應用進行了研究，并分別舉例進行了說明，以期為近代數學在經濟學領域的研究盡一點自己的努力.

【參考文獻】

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［2］顧靜相.經濟應用數學［M］.北京:高等教育出版社，2007.

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