三段型結構數列的有效講解

【摘要】本文以2010年汕頭高考“一模”試題數學（理科）20題為例講述對于形如由引入遞推公式、數列性質，與不等式結合的三段型結構數列解答題.

【關鍵詞】遞推；分析

例 已知正項數列{an}的首項a1=m，其中0

（1）若數列{an}滿足an+1=f(an)(n≥1且n∈N)，證明1an是等差數列，并求出數列{an}的通項公式.

（2）若數列{an}滿足an+1≤f(an)(n≥1且n∈N)，數列{bn}滿足bn=an2n+1，試證明b1+b2+…+bn<12.

首先分析題目結構，發現本題目符合三段型結構數列，應從遞推公式引入部分入手，引入部分常可分為直接給出遞推公式與間接引入兩種主流：其中有用圖像方式引入與用函數方式引入.例題是以函數方式引入，只需簡單運用代入法則可求解.

解 （1）∵f(x)=x1+2x且an+1=f(an)，

∴an+1=an1+2an.

由此得到遞推公式部分，這是解答題的關鍵部分，其分值較多，對于學生要掌握好幾種常見題型的解題方法.常見的有以下幾種方式：

Ⅰ.Sn與Sn-1：運用構造法將n換成n+1，或將n換成n-1構造Sn+1與Sn，再用求差法可將其化為an-1與an形式.

例1 ［中山市2010年上學期末高三考試數學試卷(理科)19］已知數列{an}的首項a1=5，前n項和為Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）.

解 由已知Sn+1=2Sn+n+5，∴n≥2時，Sn=2Sn-1+n+4.

兩式相減，得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1，即an+1=2an+1.

Ⅱ.Sn與an：利用an=Sn-Sn-1運用構造法將n換成n+1，或將n換成n-1構造Sn+1與Sn，再用求差法將其化為an-1與an形式.

例2 ［佛山市2010年第一次高考模擬考試數學試卷(理科)21］已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=12nan+1(n∈N*)，其中a1=1.

解 當n≥2時，由an=Sn-Sn-1=12nan+1-12(n-1)an，得(n+1)an=nan+1.

Ⅲ.an-1與an：構造數列為等差數列或等比數列，其中要掌握下面幾種類型：

①系數同+常數型：可化為等差數列求an.例如，a1=1，an+1=an+4，化數列{an}為等差數列，公差為4.

②系數同+變數型：可用連加法求an.例如，a1=1，an+1=an+n.

③系數不同+常數型：可構造新數列為等比數列求an.例如，a1=1，an+1=2an+3.

④系數不同+變數型：先化變數為常數，再構造新數列為等比數列求an.例如，a1=1，an+1=3an+2n+1.

⑤冪指數型：可先用對數法，再構造新數列為等比數列求an.例如，a1=3，an+1=a2n.

⑥分式型：可用分離常數法（或倒數離法）.例如，a1=1，an+1=an2an+1.

講解上述內容后繼續解答例題：

解 （接上）∵an+1=an1+2an，

∴1an+1=1+2anan=1an+2，即1an+1-1an=2.

∵a1=m，∴1a1=1m.

∴數列1an是以1m為首項，2為公差的等差數列.

∴1an=1m+2(n-1)，∴an=m1+2(n-1)m(n∈N且n≥1).

∴數列{an}的通項公式為an=m1+2(n-1)m(n∈N且n≥1).

最后是數列與其他知識結合部分，最常見的是數列與不等式結合，其中常考數列求和Sn，要讓學生掌握下面兩種求和方法：

①裂項相消法求和：適用于canan+1，其中{an}是各項不為0的等差數列，c為常數，如部分無理數列、含階乘的數列等.例如，an=1n(n+2)=121n-1n+2.口訣：小左大右中逗號，常不變，差為母.

②錯位相減法求和：適用于{anbn}，其中{an}是等差數列，{bn}是各項不為0的等比數列.例如，Cn=(2n+1)3n.可利用課本必修5第62頁中等比數列的前n項和公式Sn推導方法.同時注意到與不等式結合：常見有Sn>m與Snm形式，則用探求數列到某i項時和Si≥m，從而證明Sn>m.講解后繼續解答例題.

解 （2）由（1）知0

∴1an+1-1an≥2，

∴1a2-1a1≥2，1a3-1a2≥2，1a4-1a3≥2，…，1an-1an-1≥2，

則1an-1a1≥2(n-1).

而a1=m，則an≤m1+2(n-1)m.

∵01.

∴ai≤m1+2(i-1)m=11m+2(i-1)<12i-1，i=1，2，3，…，n.

∴bi=ai2i+1≤1(2i+1)(2i-1)=1212i-1-12i+1，i=1，2，3，…，n.

∴b1+b2+b3+…+bn

=121-13+13-15+…+12n-1-12n+1

=121-12n+1<12.

通過這樣講解，讓學生明白三段型結構數列的解題思路及其應對常見問題的解決方法，收到較好效果.