人教版與北師大版數學教材二次函數內容對比分析

【摘要】很多學生對二次函數的理解僅僅局限于表達式，對二次函數的概念缺乏正確的認識.本文通過兩個版本二次函數概念一節內容的分析，探討二次函數教學中應關注的一些問題.

【關鍵詞】二次函數；概念；對比；抽象

二次函數是義務教育新課標第三學段的重要內容，是整個初中數學教學的重難點.二次函數在現實生活和生產中的應用隨處可見，但初中學生在二次函數的學習中總存在很多問題，究其原因，是學生對二次函數概念缺乏正確的認識，沒有理解二次函數的本質.概念是學習內容的基礎，只有理解了概念的核心內容，學生在處理二次函數的問題，尤其是用二次函數解決實際問題時才能找到入口，確定函數關系.本文針對人教版和北師大版九年級數學“二次函數概念”這一節內容進行了對比分析.

《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《標準》）中對這一節內容的要求為：“通過實際問題情境的分析確定二次函數的表達式，并體會二次函數的意義.”就是要創設生產生活中的實際問題情境，讓學生結合現實生活中的問題，結合已學函數內容，嘗試找到解決問題的入口，即問題情境中的變量，然后通過問題中事物之間的關系找到對應變量之間的關系，確定自變量和因變量，最終得到函數表達式.而在這里面確定變量和用函數表達式表示它們之間的關系，往往是學生學習中很難理解的內容，難點就在于要將問題情境中的關系抽象成數學符號表達式.這個過程的處理是教材中的一個重點內容.下面分析兩個版本在處理二次函數概念內容中的一些特點.

一、編排體例方面

在教材的編排體例方面，兩個版本教材都圍繞課標中的要求，首先選取一定數量的問題情境，通過對問題情境的分析，確定了二次函數表達式，并通過舉例分析讓學生體會二次函數的意義，再給出一定數量的練習題讓學生用二次函數表達式表示問題中的數量關系.

二、問題情境的選取

兩個版本的教材都遵循課標要求，從實際問題情境的分析中確定了二次函數的表達式.人教版通過正方體表面積問題、多邊形對角線與頂點的關系問題及工廠增產問題的分析引出二次函數的概念，確定二次函數表達式.北師大版通過對果園問題、銀行儲蓄問題的分析確定了二次函數的表達式.人教版選取了三個問題，包括兩個數學模型問題和一個現實生產問題；北師大版選取了兩個現實生活生產問題.加上習題中的問題情境，人教版共5個，現實生活生產模型與數學模型比為1∶4；北師大版共選取7個，現實生活生產模型與數學模型比為6∶1.人教版注重用數學模型，理性思維濃厚；北師大版注重生活生產模型，思維偏于從感性到理性認識的發展.

三、從具體情境確定表達式方面

從具體情境確定表達式方面在兩個版本中的處理不盡相同.人教版先引用正方體表面積問題y=6x2引出二次函數表達式，這是學生已經學習過的知識，學生很容易通過計算得出這樣的結果.接著教材又通過分析多邊形頂點與對角線的關系d=12n2-32n(d表示對角線數，n表示頂點數)，最后分析某工廠增產問題y=20x2+bx+c（y表示兩年后的產量，x表示計劃增產的倍數，20為元產量），在分析了以上三個問題以后得出了二次函數的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常量，a≠0)的函數叫做二次函數.另外，人教版教材中還歸納了已學函數，并點明這些函數的名稱反映了函數解析式與自變量的關系.

北師大版從兩個現實生產問題的分析中得出了二次函數的定義.尤其果園問題，教材中將該問題細化為5個小問題，先確定變量，分清自變量與因變量，再引入符號x，y將現實問題抽象為符號，最后在分析問題情境中總產量和增種樹棵數的基礎上，運用符號表示總產量（y）與增種樹棵數（x）之間的數量關系，再通過對自變量x的賦值計算因變量y的數值，讓學生經歷從具體情境中抽象出符號的過程，再用符號表示具體情境中的數量關系.設計非常詳細，完全遵循中學生的思維習慣，有助于培養學生的抽象能力.人教版在引出二次函數表達式的過程中直接用符號表示問題情境中的量，再通過它們的數量關系得出解析式，缺少這一抽象過程，思維層次要求較北師大版高.

通過以上比較，人教版教材在問題情境的選取以及從問題情境抽象出二次函數方面的難度均高于北師大版，《標準》中對義務教育第三學段在知識和技能的目標方面的兩個重要目標“經歷從具體情境中抽象出數學符號的過程”和“探索具體問題中的數量關系和變化規律”，這是完全符合初中學生的思維水平的一個目標.尤其在函數概念學習方面，主要就是讓學生在經歷和探索中理解函數表達式的意義，在二次函數方面，要讓學生理解二次函數主要是為哪一類型的問題建立的一種數學模型.在解決具體問題時，學生能夠通過對問題情境的分析，在了解各個變量之間的內在關系的基礎上，確定其函數表達式，這一抽象過程是學生在函數概念的學習中應培養的一項基本素養.

【參考文獻】

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