排列組合幾個常見問題淺析
2011-12-31 00:00:00吳貴亮
中學教學參考·理科版 2011年12期
排列組合問題在高考中所占的分值盡管不大，但也是高考的必考內(nèi)容.而且這塊內(nèi)容對學生來說往往易懂難學，并且由于解題中缺乏有效的檢驗手段，因而失分反而較多.為此，在本文中我針對“相鄰與不相鄰”、“分組和分配”、“元素無區(qū)別的分配問題和隔板法”等排列組合中幾個常見的易混淆的問題進行一個粗淺的分析.
一、相鄰與不相鄰問題
1.兩組不同元素之間的相鄰與不相鄰問題
【例1】 5名男生和3名女生排成一排，問：
（1）如果3名女生必須排在一起，則這樣的排法種數(shù)有多少？
（2）如果3名女生互相之間各不相鄰，則這樣的排法又有多少？
解：（1）將3名女生“捆綁”在一起看成一個元素再與5名男生作全排列，注意這3名女生本身也是有順序的，故共有N=A33A66=4320（種）.
（2）先把5名男生進行排列，有A55種排法，然后把3名女生插入到6個空位中，有A36種插法，所以共有N=A55A36=14400（種）.
【例2】 （1）如果4名男生和3名女生相間排列，問有幾種排法？
（2）如果4名男生和4名女生相間排列，問有幾種排法？
解：（1）先把4名男生進行排列，有A44種排法，3名女生插到3個空位中，有A33種插法，共有N=A44A33=144（種）.
（2）先把4名男生進行排列，有A44種排法，4名女生插到4個空位中的插法有兩種，都是A44，所以共有N=2A44A44=1152（種）.
評注：相鄰問題常用“捆綁”法處理，不相鄰問題常用“插空”法處理.應(yīng)特別注意不相鄰與相間的區(qū)別.
2.一組相同元素與一組不同元素之間的相鄰與不相鄰問題
【例3】 某停車場恰有一排8個空位，現(xiàn)要停3輛不同的汽車，問：
（1）若5個空位連在一起，有幾種不同的停法？
（2）若每輛車兩邊都是空位，有幾種不同的停法？
（3）若恰有三個空位連在一起，有幾種不同的停法？
解：（1）5個空位“捆綁”在一起看作一個元素與另3個不同的元素作全排列，有A44=24種方法；
（2）相當于5個空位之間有4個位置可供選擇，有A34=24種方法；
（3）要求連在一起的3個空位與另2個空位不相鄰，等價于三輛車先一排停好，然后在4個位置中選一個放入連在一起的3個空位，再在剩下的3個位置中選2個放入另兩個空位（無順序），有A33C14C23=72種方法.
評注：相同元素沒有順序，用到組合知識.
3.兩組相同元素的相鄰和不相鄰問題
【例4】 一條路上共有11個路燈，為了節(jié)約用電，擬關(guān)閉其中4個，要求兩端的路燈不能關(guān)閉，任意2個相鄰的路燈不能同時關(guān)閉，那么關(guān)閉路燈的方法總數(shù)有多少種？
解：根據(jù)題意可知，在11個燈中關(guān)閉4個等價于在7個開啟的路燈中，從6個間隔中選4個間隔（不包括兩端外邊的位置）插入關(guān)閉路燈的過程，所以共有C46＝15種.
二、分組與分配問題
1.平均分組與分配問題
【例5】 有6本不同的書，按下列要求進行分配，各有多少種不同的分法？
（1）分給甲、乙、丙三人，每人兩本；
（2）平均分成三堆，每堆兩本.
解：（1）先從6本書中任取2本給一個人，再從剩下的4本書中任取2本給第二個人，最后的2本給第三個人，則共有C26C24C22=90種分法；
（2）根據(jù)題意只需把6本書分成三堆，每堆2本，并沒有順序要求，所以C26C24C22A33=15種分法.
評注：從上面例子可以看出，兩個問題都是先分成3堆，每堆2本，第一個問題要求給3個不同的人，給的過程有順序，屬于均分有序，不乘不除；第二個問題屬于均分無序，要除以堆數(shù)的階乘.
2.非平均分組與分配問題
【例6】 有12本不同的書按下面兩種情況分，各有多少種不同的分法？
（1）分為3份，其中一份5本，一份4本，一份3本；
（2）分給甲、乙、丙三人，其中一人得5本，一人得4本，一人得3本.
解：（1）不是均分問題，且只需分成三堆即可，用乘法原理共有C512C47C33=27720種分法；
（2）由于沒有指定甲、乙、丙三人誰得幾本，所以這個小題還要考慮到3個人的交換，故還要乘以A33，因此共有C512C47C33A33=166320種分法.
3.局部平均分組與分配問題
【例7】 （1）把6本不同的書分給4人，兩人各得1本，另外兩人各得2本，有幾種分法？
（2）5本不同的書，全部分給四個學生，每個學生至少1本，不同的分法種數(shù)有多少？
（3）將6件不同的禮物分成3份，一份4件，另兩份各1件，問有幾種分法？
解：（1）先將6本書分成1本、1本、2本、2本共4堆，然后讓四個人去全排列取書，這樣共有C16C15A22#8226;C24C22A22#8226;A44=1080種分法；
（2）先將5本書分成2本、1本、1本、1本共4堆，再讓四個學生去全排列取書，這樣共有C25#8226;C13C12C11A33#8226;A44=240種分法；
（3）將6件禮物分成4件、1件、1件共3堆，由于兩個1件是沒有區(qū)別的（沒有順序），因此，所求的分法數(shù)為C46#8226;C12C11A22=15種分法.
評注：局部均分時要特別注意有無順序的要求.
三、元素無區(qū)別的分配問題和隔板法
【例8】 把12本相同的書發(fā)給編號為1、2、3的三個學生閱覽室，每個閱覽室分得的書的本數(shù)不小于其編號數(shù)，試求不同的分法種數(shù).
解：先讓2、3號閱覽室依次分得1本書、2本書，再對余下的9本書進行分配，保證每個閱覽室至少得到一本書，這相當于在9本相同的書之間的8個空檔中插入兩塊隔板，所以共有C28=28種分法.
【例9】 從5個班中選10人組成一個籃球隊（無任何要求），有幾種選法？
解：這個問題并沒有給出“每班至少1人”這個條件，而采用隔板法解決時，實際上它就是要求每班至少有1人參加.事實上，這10個名額可以給一個班，也可給兩個班或三個班等.所以題目等價于從5個班中選擇15人組成一個籃球隊，每班至少有1人，則有C414=1001種選法.
評注：當分組的組數(shù)超過3個時，若沒有給出“每組至少有1個”這樣的條件時，是不能直接用隔板法解決的，而要先通過等價轉(zhuǎn)換找到解決問題的最佳途徑.這種思維角度的變換很值得我們重視.
參考文獻
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