數學化歸的思想方法

數學思想方法是人類科學思想方法的重要組成部分，隨著數學教育改革的深入以及數學在社會發展進程中的作用日益顯現而更加深入人心.化歸的思想方法是一種重要的數學思想方法，在數學教育中也是一種解決數學問題的基本思想方法.在某種程度上，化歸方法也是數學家區別于其他科學家的主要特征之一.因此，學習并掌握化歸的思想方法對學好數學具有重要的理論意義和現實意義.

一、化歸方法的含義、特殊性及基本模式

1．化歸方法的含義

一般的，化歸方法就是將欲求解的問題通過一次或多次變形轉化成一個或若干個已知的或容易求解的問題，在這個轉化過程中所運用的方法就叫做化歸方法.看似一個簡單的解釋，但對數學家來說卻有其特殊的意義.正如匈牙利著名數學家Rosza Peter所說：“（化歸）對于數學家的思維過程來說是很典型的，他們往往不對問題進行正面的進攻，而是不斷地將它變形，直至把它轉化為已經能夠解決的問題.”^［1］

2．數學化歸思想方法的特殊性

Rosza Peter在其名著《無窮的玩藝》曾經舉過一個“燒開水”的例子^［2］，生動地說明了化歸思想方法的實質.“假設在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺，要燒開水，該怎么做？”相信大多數人都會這樣做：往水壺里放滿水，把水壺放上煤氣灶，點火即可.此時，如果其他條件都沒變，只是水壺里已經放滿了水.要燒開水，又該如何做？大多數人會毫不猶豫地說，直接把水壺放上煤氣灶，點火就可以了.然而，數學家不是這樣，他們這樣做：把水倒掉.這樣就把問題歸結為上一個問題.而上個問題已經解決了，第二個問題自然就解決了.在這里，數學家就用了一個步驟，即把水倒掉，就解決了第二個問題.雖然有點夸張，但這卻可以看出數學思維的特殊性.化歸的思想方法在數學中的作用由此可見一斑.

3．化歸方法的一般模式

從化歸方法的含義中不難看出，應用化歸方法解決問題的一般模式可以表示為下述模型：

說明：上圖中，問題A到問題A′即化歸過程；而解答A′到解答A則是問題的還原過程.對照“燒開水”的例子，問題A是指第二個問題，通過“把水倒掉”轉化（化歸）為問題A′（即第一個問題），而第一個問題已經得到解決（即解答A′），于是問題A的解答就是（“把水倒掉”+“解答A′”）.

如果問題的化歸需要通過多次轉化，則化歸方法的模式則可通過以下模型表述：

說明：“問題”到“問題n”的過程是化歸過程，而“解答n”到“解答”的過程是還原過程.

綜上所述，化歸方法有以下更一般的模式：

說明：上圖中，問題A到問題集A′即化歸過程.其中，問題A分割與否以及化歸的過程決定了問題集A′的性質，可以是單元素集合，即只是另外一個問題；也可以是多元素集合，即把問題A分解轉化成為多個子問題.解答集A′到解答A則是問題的還原過程，即是把解答集A′中各元素（各個解答）整合成問題A的解答.

眾所周知，法國著名數學家笛卡兒在創立解析幾何時就運用了化歸方法把幾何圖形（點的集合）和代數方程（實數對的集合）統一起來，用代數方法解決幾何問題.即有以下過程：

說明：通過建立坐標系，把幾何問題化歸為代數問題；解決代數問題后，再把代數結論還原為幾何結論.

二、化歸方法的基本原則及常用方法

（一）化歸原則

從化歸方法的內涵出發，我們不難得出化歸方法的一般原則有以下幾種.

1．簡單化原則

簡單化原則是化歸方法的首要原則，即是指把復雜的問題轉化為簡單的問題，把復雜的形式轉化為簡單的形式，把高階的降為低階，把高維的降到低維，使其中蘊涵的數量關系和空間形式更加具體，從而找到問題的解決辦法.

2．特殊化原則

相對于一般問題，解決特殊問題比較容易.特殊化就是問題中的情境具體化、單一化.通過對特殊性質進行綜合分析，進而推廣到一般情形，使問題得以解決.一般可以通過兩種途徑實現問題的特殊化：一是把問題情境理想簡化（如用具體數字代替變量）；二是考察問題的極端情形.

3．基礎化原則

基礎化原則是指任何化歸過程都將是由陌生到熟悉，由后學到前修的過程.即對于陌生的問題，化歸的過程是不斷呈現出熟悉的“面孔”，不斷地推向前修知識和方法的過程，最終還是運用數學的基本原理和方法解決問題.

（二）化歸中常用的方法

1．變形法

變形法主要包括恒等變形、參數變異法、構造法、多步化歸法.波利亞所說的“輔助問題”也可以看成是另外一種形式的變形法，即“去設計并解出一種合適的輔助問題，從而用它求得一條通向一個表面上看來很難接近的問題的通道，這就是最富有特色的一類智力活動.” 波利亞把“輔助問題”作如下分類：等價問題、較強或較弱的輔助問題及間接的輔助問題.^［3］

2．分割法

所謂分割法，就是先把問題“化整為零”，然后把分割形成的子問題的解重新整合起來，從而使原有問題得以解決.笛卡兒的一段話形象說明了分割法的思想：“把你考慮的每一個問題，按照可能和需要，分成若干部分，使它們更易于求解.”^［4］分割的對象可以是問題本身，也可以是問題的條件，還可以是問題的“補集”.

3．RMI法

即所謂的“關系（Relation）映射（Mapping）反演（Inversion）方法”（簡稱為RMI法）.RMI法是我國著名數學家徐利治理教授于1983年首先提出的，主要運用于兩個具有明確映射關系的對象系統.如通過對數計算求真數以及解析幾何問題的代數求解方法，都是RMI法的具體事例.我們熟知的幾何三大難題、數學理論（如羅矢幾何）的相對相容性問題都可以運用RMI法加以解決.因此，RMI法在數學中的運用相當廣泛.

三、化歸方法在數學教學中的滲透及運用

（一）在數學課堂中滲透與運用化歸思想方法

1.深入挖掘和利用教材中蘊涵的化歸元素

作為一種思想方法，化歸思維也是前人探索出來的經驗積累.但教材是不可能將思想方法的探索發現過程完整展現出來，這些思想方法只能隱藏在數學的概念、命題和問題中，從而成為教材的靈魂.特別是在九年義務教育的幾何、代數教材中，化歸思想方法出現的幾率很高.如有理數大小的比較通過絕對值概念轉化為算術四則運算；整式加減通過合并同類項轉化為有理數的加減.因此，在備課時，必須把體現知識和化歸思想方法統一起來.既傳授知識，也要把知識轉化過程中體現的化歸思想方法從隱藏狀態揭露出來，使學生接受思想方法論的教育.

2.在課堂教學過程中滲透化歸的思想方法

隨著數學教育改革的不斷深入，人們對數學的認識也在不斷深化.數學大眾化已經逐漸為人們所接受.公民的數學素質越來越受到重視.掌握數學思想方法、形成數學能力是提高數學素質的根本途徑.課堂教學是數學教育的主陣地.因此，必須加強教學過程中對包括化歸思想方法在內的各種數學思想方法的滲透.思想方法源于知識又高于知識.無論是在知識發生階段還是知識應用階段的教學中，要善于總結、概括知識中蘊涵的化歸思想方法，不要為了單純傳授知識而開展教學，必須對知識發生和應用過程進行提煉和升華，把知識背后隱含的思想方法揭示出來，并使學生在適當訓練后得到鞏固.

（二）在解題研究和訓練中滲透與運用化歸思想方法

當前，中學數學教學的首要任務仍然著重于解題訓練.遺憾的是，這里的解題幾乎成為“題海戰術”的代名詞.波利亞主張，與其不斷重復訓練類型題，還不如選一道有代表性的題目，和學生一起挖掘題目的各個側面，并且通過題目的變形，分析各種可能性，使學生通過這道題目的剖析，掌握類似的各種變換，把解題戰術上升為解題方法論的高度.因此，必須轉變觀念，把學生從題海中解放出來，加強解題研究，使學生在掌握方法的基礎上有的放矢地進行解題訓練，從而更快地熟悉并掌握化歸的思想方法.

四、化歸方法的哲學思考

唯物辯證法認為，客觀事物是互相聯系而且發展變化的，各種矛盾在一定條件下可以互相轉化.化歸方法正是建立在這一觀點基礎之上對事物聯系和轉化的能動反映.從哲學的角度看，化歸方法著眼于揭示事物間的內在聯系，利用或創造條件實現轉化（即由繁到簡、由難到易、由一般到特殊）并在轉化中使問題得到解決，從本質上說，化歸方法實際上是轉化矛盾的方法.因此，必須抓住問題的主要矛盾和矛盾的主要方面，發現和利用已有條件促進矛盾的轉化.從這個角度看，數學科學能夠闡釋哲學思想，通過數學的學習能夠更好地理解哲學原理.

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參考文獻

［1］［2］ Rosza Peter.無窮的玩藝［M］.南京：南京大學出版社，1985：84.

［3］［4］鄭毓信.數學方法論［M］.南寧：廣西教育出版社，1991.

［5］趙小云，葉立軍.數學化歸思維論［M］.北京：科學出版社，2005.