淺談高中數學運算能力的培養

在高中數學學習的過程中，很多學生只注重解題思路的探究，忽略運算，導致考試時題目會做，但因運算能力差而做不完.2010年江蘇高考就是一個很好的例子！考生反映題目思路易找，卻難算.以致前14個填空題用了一小時也沒做完，這直接影響后面六個解答題的作答.這種情況，與平時教學中不注重運算能力的培養或培養方法不當有很大的關系，對運算求解能力的考查要求“江蘇高考說明”明確指出：“能夠根據法則、公式進行運算及變形；能夠根據問題的條件尋找與設計合理、簡捷的運算途徑；能夠根據要求對數據進行估計和近似計算”.在教學中，我們要重視學生的運算能力，提高學生的數學素養，下面本人結合自己教學中的感悟淺談幾點：

一、 掌握基礎知識、基本方法是培養運算能力的基本保障

所謂“運算”，主要講的是算法和算理.算法是解決問題的計算方法，而算理是采用這種算法的依據和原因.一個是表一個是里；一個是現象一個是本質.如果基礎知識、基本方法不掌握，我們運算的算法和算理從何而來呢？

【例1】 （2010江蘇高考13） 在銳角三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若

ba+ab=6cosC，則tanCtanA+tanCtanB的值是 .

分析：此題得分率很低，重要原因之一是學生怕計算，不敢算，擔心算不出結果又耽誤時間，唯恐“賠了夫人又折兵”，所以很多考生選擇放棄.其實，本題主要考查三角恒等變換和正、余弦定理的應用.如果我們掌握了三角的基礎知識，處理三角的基本方法，此題不難得分！條件ba+ab=6cosC是邊角混合等式，處理的基本方法是化邊或化角.所求式tanCtanA+tanCtanB是切的問題，處理的基本方法是切化弦.若將條件化角，與所求很難聯系，故化邊，即用余弦定理可得：2a2+2b2=3c2，而tanCtanA+tanCtanB，切化弦得：1cosC(tanCtanA#8226;cosA+tanCtanB#8226;cosB)

，再運用正弦、余弦定理可化得：6c2a2+b2=4.

從上例可以看出，在數學教學中，對基本概念、公式，基本方法的掌握程度直接影響到解題的質量與速度.如果學生對這些基礎知識、基本方法理解得清晰深刻，那么他們在進行運算時就能思路敏捷，迅速準確.否則，便會陷入一種盲目遲鈍的狀態，出現各種各樣的錯誤.

二、 重視常規技巧是培養運算能力的重要途徑

運算能力發展到一定的水平，即形成了運算的基本方法和技能，此時還必須讓學生掌握常規運算技巧，這樣可以簡化運算，提高學生的解題能力.以解析幾何為例，學生在此類問題上，會“蠻算”，“技巧”上的功夫不夠.

【例2】 （2010江蘇高考18）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓x29+y25=1

，左右頂點為A，B，右焦點為F，設過點T（t，m）的直線TA，TB與此橢圓分別交于點M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m＞0，y1＞0，y2＜0.

（1） （2）略.

（3）設t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）. 

分析：本題為江蘇高考中等題，屬直線恒過定點問題，考查直線與橢圓交點的求法.思路易求但運算無法突破，眾多考生頗有一種“無可奈何化落去，似曾相識燕歸來”的感覺.本題在求M、N兩點坐標時，有技巧！若是將直線AT的方程代入橢圓方程，消元解關于x或y的一元二次方程，則無法進行下去.倘若注意到直線方程與橢圓方程的特征，此題將被突破.

略解：由題設知，直線AT的方程為y=m12(x+3)，直線BT的方程為y=m6(x-3)，點M(x1，y1)滿足

y1=m12(x1+3)，

x219+y215=1，

得

(x1-3)(x1+3)9=-m2122#8226;(x1+3)25

，因為x1≠-3，則

x1-39=-m2122#8226;x1+35

，解得x1=240-3m280+m2，從而得y1=40m80+m2.

以下略.

本題巧妙地運用因式分解將一元二次方程轉換為一元一次方程，這是本題的關鍵所在！可見技巧的重要性.常規的技巧還有：韋達定理的運用，三角換元，數列與不等式放縮，構造函數比較大小等.這需要我們在平時的教學中逐漸積累，用起來才得心應手.當然過分追求技巧是數學教育要避免的！技巧性太強往往容易掩蓋問題本身，很多資料給出的試題往往使得“技巧主要化”而問題反而“邊緣化”，是不利于科學的學習的，但常規的技巧是需要的！

三、 注重數學思想方法的應用是培養運算能力的重要補充

在教學中，有些問題看似很復雜，運算繁瑣，如果我們換一種方式思考，會有意想不到的驚喜.數學中的一些數學思想如數形結合思想、特殊化思想、等價轉化思想等可以幫助我們解決很多運算問題，給我們驚喜！

【例3】 （2010江蘇高考11）已知函數f(x)=x2+1，x≥0，1，x＜0，則滿足不等式f(1-x2)＞f(2x)的x的取值范圍是 .

分析：本題屬難題，如果學生按照解

不等式的一般方法代入求解，需分四種情況 

①1-x2≥0，2x≥0；

②1-x2≥0，2x＜0；

③1-x2＜0，2x≥0；

④1-x2＜0，2x＜0.

較繁瑣.

但若用數形結合求解則簡單多了！如圖： 

由函數圖象單調性可知，1-x2＞0，1-x2＞2x，解得-1＜x＜-1+2.

從上例可以看出，數學思想方法的巧妙運用能簡化運算！又如“設O為坐標原點，拋物線y2=2x與過焦點的直線交與A，B兩點，則OA#8226;OB= .”雖然此題是容易題，但若選擇一般方法，設AB方程代入拋物線方程求A，B坐標，則較繁瑣.若采用特殊化思想，只須取AB⊥x軸這種特殊情況算出結果-34即可，若是解答題，再去討論一般情況即可.

數學運算一直是數學學科的重要課題，除了以上三點之外，在平時的教學中還需要不斷加強對錯題的反思，要知道“是什么”“有何用”“如何用”，將所學知識、技巧、思想方法熟練掌握，提高運算能力.經歷這個過程，才能更有效地解決其他運算能力，收到化繁為簡，化難為易，事半功倍的效果.同時，學生數學運算的培養也是長久的工程，我們一定要持之以恒，堅持不懈！