偶然中蘊(yùn)含必然

我們知道一般情況下變力做功不可以直接用變力的頭尾平均值乘以位移得到功，但在學(xué)生練習(xí)中卻出現(xiàn)了新的問(wèn)題。原題如下：

如圖所示，在方向豎直向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中有兩條光滑固定的平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，間距為L(zhǎng)，其電阻不計(jì)，導(dǎo)軌平面與磁場(chǎng)垂直。ab、cd為兩根垂直于導(dǎo)軌水平放置的金屬棒，其接入回路中的電阻分別為R，質(zhì)量分別為m。與金屬導(dǎo)軌平行的水平細(xì)線(xiàn)一端固定，另一端與cd棒的中點(diǎn)連接，細(xì)線(xiàn)能承受的最大拉力為T(mén)，一開(kāi)始細(xì)線(xiàn)處于伸直狀態(tài)，ab棒在平行導(dǎo)軌的水平拉力F的作用下以加速度a向右做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，兩根金屬棒運(yùn)動(dòng)時(shí)始終與導(dǎo)軌接觸良好且與導(dǎo)軌相垂直。 

(1)求經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間細(xì)線(xiàn)被拉斷?

(2)若在細(xì)線(xiàn)被拉斷瞬間撤去拉力F，求兩根金屬棒之間距離增量Δx的最大值是多少? 

原題解答如下：

(1)ab棒以加速度a向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)細(xì)線(xiàn)斷時(shí)，ab棒運(yùn)動(dòng)的速度為v，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

E＝BLv ①

回路中的感應(yīng)電流

I＝E/2R ②

cd棒受到的安培力

F＝BIL ③

經(jīng)t時(shí)細(xì)線(xiàn)被拉斷，得

F＝T ④

v＝at ⑤

由①②③④⑤式得

t=2RTB2L2a ⑥

(2)細(xì)線(xiàn)斷后，ab棒做減速運(yùn)動(dòng)，cd棒做加速運(yùn)動(dòng)，兩棒之間的距離增大，當(dāng)兩棒達(dá)共同速度u而穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩棒之間的距離增量Δx達(dá)到最大值，整個(gè)過(guò)程回路中磁通量的變化量

ΔΦ＝BLΔx ⑦

由動(dòng)量守恒定律得

mv＝2mu ⑧

回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的平均值

E1＝ΔΦ/Δt ⑨

回路中電流的平均值

I＝E1/2R ⑩

對(duì)于cd棒，由動(dòng)量定理得

BILΔt＝mu B11

由⑤⑥⑦⑧⑨⑩B11式得

Δx=2mR2TB4L4 B12

但學(xué)生在解題中對(duì)于（2）問(wèn)也有如下的解法：

細(xì)線(xiàn)斷后，ab棒做減速運(yùn)動(dòng)，cd棒做加速運(yùn)動(dòng)，兩棒之間的距離增大，當(dāng)兩棒達(dá)共同速度u而穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩棒之間的距離增量Δx達(dá)到最大值。

由動(dòng)量守恒定律得：

mv＝2mu，

由能量守恒可得：

12mv2＝12#8226;2mu2+E電，

而電能等于導(dǎo)體桿克服安培力做的功，而導(dǎo)體桿的安培力發(fā)生變化，開(kāi)始時(shí)F0=B2L2v2R

，最后為0，可取平均值得：

E電=F02Δx，

由此解得Δx=2mR2TB4L4。

計(jì)算結(jié)果與參考答案恰好一樣。那么，這樣的解法是否正確呢？我們知道在此后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，安培力隨時(shí)間并不是定值，也不隨時(shí)間均勻變化，一般來(lái)說(shuō)在教學(xué)中也反復(fù)強(qiáng)調(diào)變力做功不可用平均作用力來(lái)求解，那為什么用平均作用力求解也得到正確的結(jié)果呢？是偶然還是必然呢？我們來(lái)做進(jìn)一步的研究。

一般力所做的功可以表示為F-s圖中圖線(xiàn)與s軸所圍的面積。如果F與s的關(guān)系比較復(fù)雜，求解面積較為困難，但如果變力與位移的滿(mǎn)足線(xiàn)性關(guān)系，面積求解就比較簡(jiǎn)單。

如彈簧彈力做功為例：W=0+kx02#8226;x0=12kx20

，其中0+kx02為變力的頭尾平均值，x0為位移。既然此題用平均力計(jì)算也是正確的，那么，可以猜測(cè)是否此題中的安培力與兩桿之間的距離Δx也滿(mǎn)足線(xiàn)性關(guān)系。

來(lái)具體求解一下：

設(shè)到某狀態(tài)時(shí)cd棒的速度為v1，ab棒的速度為v2。

電路中的電動(dòng)勢(shì)為：E=BL(v2- v1)，

電路中的電流為：I=E2R，

導(dǎo)體棒所受的安培力為：F=BIL，

解得F=B2L2(v2-v1)2R。

由牛頓第二定律可得：

對(duì)于cd棒有：mdv1dt=F，

對(duì)于ab棒有：mdv2dt=-F，

由上式可得：d(v2-v1)dt=-B2L2(v2-v1)Rm，



分離變量積分可得：ln(v2-v1)=-B2L2mRt+C。

由初始條件t=0，v1=0，v2=v可得：

v2-v1=ve-B2L2tmR，

距離增加值Δx滿(mǎn)足d(Δx)dt=v2-v1，

將上式代入并積分可得：Δx=-mRvB2L2e-B2L2tmR+C1。

由初始條件t=0，Δx =0可得：

Δx=-mRvB2L2e-B2L2tmR+mRvB2L2

（*）

而F=B2L2(v2-v1)2R=B2L22Rve-B2L2tmR

（**）

由（*）（**）式消去t可得：

F=-B4L42mR2Δx+B2L2v2R

（※）

當(dāng)F=0時(shí)，Δx有極大值：Δx=mRvB2L2=2mR2TB4L4。

由（※）式可知F與Δx確實(shí)呈線(xiàn)性關(guān)系，因此可以用平均力求解。由此例可以得出結(jié)論：變力做功也可以直接用變力的頭尾平均值乘以位移得到功即W=F初+F末2#8226;s

，但前提條件是變力與位移必須呈線(xiàn)性關(guān)系。