2011年高考數(shù)學(xué)安徽卷對(duì)運(yùn)算能力的考查

運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合．運(yùn)算包括對(duì)數(shù)字的計(jì)算、估值和近似計(jì)算，對(duì)式子的組合變形與分解變形，對(duì)幾何圖形各幾何量的計(jì)算求解等．運(yùn)算能力包括分析運(yùn)算條件，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算公式，確定運(yùn)算程序等一系列過(guò)程中的思維能力，也包括在實(shí)施運(yùn)算過(guò)程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力．參見(jiàn)《2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試安徽卷考試說(shuō)明》．2011年高考數(shù)學(xué)安徽卷數(shù)學(xué)試題題目設(shè)計(jì)新穎，亮點(diǎn)紛呈，試題加大了對(duì)運(yùn)算求解能力的考查，本文筆者對(duì)此舉例分析，僅供參考．

一、運(yùn)算要準(zhǔn)確

【例1】 （理10）

函數(shù)f(x)=axm(1-x)n在區(qū)間［0，1］上的圖像如圖1所示，則m，n的值可能是（ ）.

A.m=1，n=1B.m=1，n=2

C.n=2，n=1D.m=3，n=1

分析：本題主要考查函數(shù)圖像，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)最值等知識(shí)，能根據(jù)圖像提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和計(jì)算．

解法1：

根據(jù)圖像知a＞0，f(0.2)＞f(0.8)，

∴a×0.2m×(1-0.2)n＞a×0.8m×(1-0.8)n.

∴(14)m-n＞1.

∴m＜n，

結(jié)合選項(xiàng)，故選B．



解法2：

根據(jù)圖像知a＞0，由f(x)=axm(1-x)n知

f′(x)＝amxm-1(1-x)n-anxm(1-x)n-1=axm-1(1-x)n-1［m(1-x)-nx］.

令f′(x)=0，∴m(1-x)-nx=0，∴x=nm+n.

當(dāng)x=nm+n時(shí)，f(x)取極大值，結(jié)合選項(xiàng)，故選B．

評(píng)析: 本題是對(duì)幾何圖形的各幾何量的計(jì)算求解，結(jié)合選項(xiàng)，巧妙地對(duì)本題進(jìn)行估值和計(jì)算．

二、運(yùn)算要合理

【例2】 （文，20）

某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

（I）利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程y=bx+a；

（II）利用（I）中所求出的直線方程預(yù)測(cè)該地2012年的糧食需求量．

分析：本題考查回歸分析的基本思想及其初步運(yùn)用，回歸直線的意義和求法，數(shù)據(jù)處理能力，考查運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的能力．

解：（I(xiàn)）由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來(lái)求回歸直線方程，為此對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理如下：

根據(jù)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易計(jì)算

x=0，y=3.2，

b=(-4)×(-21)+(-2)×(-11)+2×19+4×2942+22+22+42=26040=6.5

，

a=y-bx=3.2.



由上述計(jì)算結(jié)果，知所求回歸直線方程為

y-257=b(x-2006)+a=6.5(x-2006)+3.2，

即 y=6.5(x-2006)+260.2. ①

（I(xiàn)I）利用直線方程①，可預(yù)測(cè)2012年的糧食需求量為

6.5(2010-2006)+260.2=6.5×6+260.2=299.2（萬(wàn)噸）≈300（萬(wàn)噸）．

評(píng)析：就本題而言，合理選擇公式可以避免繁雜的運(yùn)算，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，這樣可以節(jié)省大量的書(shū)寫(xiě)時(shí)間，并能有更充足的時(shí)間去思考其它題目．

三、運(yùn)算要簡(jiǎn)捷

【例3】 （文17）

設(shè)直線l1：y=k1x+1，l2：y=k2x-1，其中實(shí)數(shù)k1，k2滿(mǎn)足k1k2+2=0.

（I）證明l1與l2相交；

（II）證明l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2+y2=1上．

分析：本題主要考查了直線與直線的位置關(guān)系，考查推理論證能力和運(yùn)算求解能力，本題僅分析（I(xiàn)I）

解：設(shè)交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由

y=k1x+1，y=k2x-1

可得y-1=k1x，y+1=k2x.

以上兩式相乘得(y+1)(y-1)=k1k2x，由k1k2+2=0，∴k1k2=-2.

∴y2-1=-2x2，即2x2+y2=1，

所以交點(diǎn)P在橢圓2x2+y2=1上．

評(píng)析：就本題而言，對(duì)式子進(jìn)行巧妙的組合變形大大簡(jiǎn)化了本題的運(yùn)算量．

四、運(yùn)算要巧妙

【例4】 （理17）

如圖2，ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點(diǎn)O在線段AD上，OA=1，OD=2，△OAB、△OAC、△ODE △ODF都是正三角形．

（I）證明直線BC∥EF；

（II）求棱錐F-OBED的體積．

分析：本題考查空間直線與直線的位置關(guān)系，考查空間想象能力，推理論證的能力和運(yùn)算能力，本題僅分析（I(xiàn)）．

解：∵△OAB，△OED都是正三角形，且

OA=1，OD=2，∴DE

瘙 綊 2OB

，設(shè)OB=a，則DE＝2a.

同理，設(shè)OC=b，則DF=2b，

∴BC=b-a.

，EF=2b-2a.

∴EF=2BC.

又∵EF與BC無(wú)公共點(diǎn)，∴BC∥EF．

評(píng)析：在解題過(guò)程中，能巧解的要巧解，不要受“通性通法”的約束．

高考對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力考查無(wú)處不在，而多數(shù)考生在高考中失分的最主要原因是運(yùn)算能力不過(guò)關(guān)．因此加強(qiáng)考生對(duì)運(yùn)算能力的訓(xùn)練顯得至關(guān)重要，在復(fù)習(xí)中不僅要熟悉運(yùn)算的一些常用方法，更要?dú)w納并總結(jié)運(yùn)算技巧，這樣才有利于考生在考試中發(fā)揮出自己的最佳水平.