例析冪的運算與技巧

冪的運算是指同底數冪的乘法、除法以及冪和積的乘方，它既是有理數乘方的推廣，又是整式運算的基礎，搞清法則的區別與聯系，熟練運用法則，掌握技巧至關重要.

冪的運算法則：xm#8226;xn=xm+n，xm÷xn=xm-n，(xm)n=xmn，(ab)n=anbn.

巧記：冪的運算級別總是比指數的運算級別高一級.

一、將不同底數的冪轉化為同底數的冪

1.底數互為相反數：(-a)n=an(n為偶數)；-an(n為奇數).

①(-2)5×26；②(-2)4×22； ③(x-y)5×(y-x)6；④(x+y)5×(-x-y)6.

解：①(-2)5×26=-25×26=-25+6=-211.

②(-2)4×22=24×22=24+2=26.

③(x-y)5×(y-x)6=(x-y)5×(x-y)6=(x-y)5+6=(x-y)11.

④(x+y)5×(-x-y)6=(x+y)5×(x+y)6=(x+y)5+6=(x+y)11.

2.不同的底數冪可化為同一底數的冪

（1）求指數中所含的未知數的值

①27×9×3x=32x+3；

②81×9×3x=925.

解：①∵27×9×3x=33×32×3x=33+2+x=35+x ，

∴35+x=32x+3，∴5+x=2x+3，∴x=2.

②∵81×9×3x=34×32×3x=34+2+x=36+x，925=(32)25=350，

∴36+x=350，∴6+x=50，∴x=44，

（2）比較不同底數冪的大小

③比較8131、2741、961的大小.

分析：直接計算顯然不行，但仔細觀察三個冪易化為底數都是3的同底數冪，然后再通過比較指數的大小來比較冪的大小.

解：∵8131=(34)31=3124，2741=(33)41=3123，961=(32)61=3122.

∵ 122<123<124，∴961<2741<8131.

二、將不同指數的冪轉化為同指數的冪

①比較255、344、433的大小.

分析：要比較三個數的大小，通過計算顯然不行.仔細觀察三個指數都是11的倍數，所以易化為同指數冪，然后通過比較底數的大小來比較冪的大小.

解：∵255=(55)11=3211，344＝（34）11=8111，533=(53)11=12511，

∵32<81<125，∴255<344<5533.

②(0.25)2000×24002.

解：(0.25)2000×24002=(14)2000×24002=(2-2)2000×24002=2-4000×24002=22=4.

三、巧妙逆用冪的法則

1.化復雜的指數為簡單的指數.

①am=5，an=6，求am-n，a2m+3n的值.

解：am-n=am÷an=5÷6=56，

a2m+3n=a2m#8226;a3n=(am)2#8226;(an)3=52×63=5400

2.積的乘方的逆用，簡化計算.

②(423)100×(-314)99；③(0.25)2000×24002.

解：②(423)100×(-314)99=(423)99×423×(-314)99=［143×(-314)］99×143=-143.

③(0.25)2000×24002=(0.25)2000×22000×22000×22=(0.25×2×2)2000×22=4.



四、將不同的冪轉化為同冪

①已知M=666666， N=116660，比較M、N的大小.

解：∵M-N=666666-116660

=666-666666

=0，∴M=N.

五、把一般底數的冪轉化為特殊底數的冪

①求32006×72007×132008的個位數.

分析：把一般底數的冪轉化為個位數為1的特殊底數的冪.

解：32006×72007×132008 =(34)501×72007×132007×32×13=81501×(7×13)2007×32×13=

=81501×912007×117.

所以32006×72007×132008積的個位數為7.

六、綜合利用，巧妙變形

①已知：25x=2000，80y=2000，求1x+1y的值.

解：①∵25x=2000=25×80，80y=2000=25×80，

∴25x-1=80，80y-1=25，∴(25x-1)y-1=80y-1=25.

∴(25x-1)y-1=25(x-1)(y-1)=25xy-x-y+1=25，∴xy-x-y+1=1，

∴xy=x+y，∴1x+1y=x+yxy=xyxy=1.



總之，要辨析冪的法則之間的區別和聯系，正向看，逆向想，巧變形，綜合用，從而熟練巧妙、靈活利用冪的性質.