攝像機畸變矯正研究的綜述

摘要:本文首先介紹了畸變產(chǎn)生原因，然后闡述了畸變矯正基本原理。通過對目前四中畸變模型的具體分析，給出了各種方法的優(yōu)劣點;最后給出了發(fā)展傳統(tǒng)的攝像機畸變矯正方向和提高畸變精度的一些參考意見。

關(guān)鍵詞:攝像機標定算法畸變矯正

中圖分類號:TP391.41；R445239文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)03(a)-0005-02

1 引言

鏡頭畸變實際上是光學(xué)透鏡固有的因為透視原因造成的失真的總稱，這種失真對于照片的成像質(zhì)量非常不利。由于透鏡的固有特性(凸透鏡匯聚光線、凹透鏡發(fā)散光線)，所以無法消除，只能改善。高檔鏡頭光學(xué)設(shè)計以及用料考究，利用鏡片組的優(yōu)化設(shè)計、選用高質(zhì)量的光學(xué)玻璃(如螢石玻璃)來制造鏡片，可以使透視變形降到很低的程度。但是完全消除畸變是不可能的，目前最高質(zhì)量的鏡頭在極其嚴格的條件下測試，在鏡頭的邊緣也會產(chǎn)生不同程度的變形和失真。一些特殊用途的鏡頭，必須進行畸變矯正，如廣角鏡頭的透視畸變，遠攝鏡頭的透視畸變。畸變主要由兩類組成，徑向畸變和切向畸變，而實際應(yīng)用中，由于切向畸變可以忽略，因而只考慮到徑向畸變問題，本文中所闡述幾種畸變模型都是只考慮了徑向畸變問題。

圖像坐標準確性直接影響到圖像的配準，攝像機的標定及三維坐標的重建等處理，而攝像機畸變是由光學(xué)鏡頭本身工藝所造成，這些畸變是不可避免，因此，對不同的應(yīng)用場合，我們?nèi)绾尾捎酶没兡Ｐ停@是進行圖像配準等處理的前提，是不可或缺的一步，是做好后續(xù)工作的前提。本文通過文獻調(diào)研，對目前常用幾種畸變模型進行簡單的介紹和分析，希望能給相關(guān)科研人員做個參考。

攝像機畸變矯正就是在求解出相機投影矩陣的前提下，然后利用畸變模型(變換函數(shù))將實際的圖像點平面映射到理想圖像點平面。核心問題是對畸變模型中的參數(shù)的求解。不同的畸變模型采用不同的方法進行畸變系數(shù)的求解，同時結(jié)合一些優(yōu)化算法，從而能夠得到高精度的畸變模型，對圖像上的特征點或者所有點進行矯正，從而為后面的圖像標定、圖像配準和圖像重建奠定基礎(chǔ)。

2 畸變矯正算法模型

關(guān)于畸變矯正模型有很多，根據(jù)不同鏡片的本身特征推導(dǎo)出不同模型，或者是同一個模型根據(jù)特殊的應(yīng)用場合，結(jié)合相應(yīng)的場合約束條件進行畸變模型求解，在這些模型中用的最多最廣泛的是高階多項式模型[1]，根據(jù)不同場合精度要求，選擇不同畸變階數(shù)，其核心問題就是求解畸變系數(shù)。下面分別對各個模型進行了簡單的介紹和說明。

2.1 高階多項式模型

該模型[1]是假設(shè)畸變函數(shù)滿足連續(xù)可微的情況下，從而可以將畸變函數(shù)進行泰勒展開，畸變矯正模型如公式(1)

(1)

其中是畸變的圖像點，是圖像畸變中心，是矯正后的圖像點，。展開后的如公式(2)

(2)

大部分情況下取前幾階就已經(jīng)有足夠高的精度了，關(guān)于求解畸變系數(shù)，有很多的方法去求解畸變系數(shù)，根據(jù)空間直線投影到圖像上依然是直線的原理，Kang[2]提出一種命名為“徑向畸變snake”半自動的求解畸系數(shù)，Luis Alvarez等人[3]也根據(jù)此原理，采用代數(shù)的方法求解畸變系數(shù);Zhengyou Zhang[4]和Hongdong Li and Richard Hartley[5]根據(jù)極限幾何約束條件求解畸變系數(shù);還有采用求解評價函數(shù)的最小值，如S.Shah[6]提出的Lagrange minimization方法求解畸變系數(shù)。

求解畸變系數(shù)后，根據(jù)不同場合的應(yīng)用對精度的需求，采用不同的優(yōu)化算法對畸變參數(shù)進行優(yōu)化，如采用Levenberg–Marquardt[7]非線性優(yōu)化方法，從而可以滿足實際應(yīng)用精度的需要。該模型目前在徑向畸變方面應(yīng)用的最廣泛，但是該方法在求解畸變系數(shù)上有很大困難，其穩(wěn)定性存在問題，在不同應(yīng)用場合需要進行多次的嘗試。

2.2 除法模型

該模型[8]是是基于立體匹配的約束下得到的，根據(jù)立體視覺匹配約束條件(公式(3))

(3)

和是一對圖像匹配點，然后考慮圖像畸變，將畸變模型加入求解基礎(chǔ)矩陣中，從而可以得到畸變系數(shù)的求解，簡化后得到的函數(shù)為公式(4)

(4)

最后就是求解畸變系數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為特征值求解問題，得到畸變系數(shù)后，我們就可以利用公式(5)對圖像進行校正，同樣為了提高畸變系數(shù)精度，采用RANSAC方法去除外點。

(5)

此畸變模型適合畸變大的場合，而對于畸變較小系統(tǒng)，求解的畸變系數(shù)誤差很大，不適合高精度的畸變矯正，但是該方法不需要提取圖像中直線，從而避免了由于提取直線而產(chǎn)生的問題。

2.3 魚眼模型

魚眼畸變模型[9]只有一個畸變系數(shù)，這是針對于廣角鏡頭提出一種畸變方法，該模型是根據(jù)魚眼鏡頭本身特征推導(dǎo)出來的，該模型只有一個畸變系數(shù)，其數(shù)學(xué)公式為:

(6)

但是在實際應(yīng)用中，并不是所有的魚眼畸變完全符合魚眼物理模型，因此當(dāng)條件不夠充分的情況，我們可以采用一階多項式進行畸變矯正，如果要對魚眼畸變模型進行二階運算時候，先采用一階多項式模型，然后采用魚眼畸變模型，高階的以此類推。

對魚眼畸變模型參數(shù)的求解采用是直線擬合的方式，因為如果一幅圖像沒有發(fā)生畸變，其邊緣應(yīng)該是直的，因此，利用直線這個約束條件再結(jié)合非線性優(yōu)化方法就可以得到準確畸變系數(shù)。然后利用畸變模型對圖像進行校正，并計算相對畸變誤差大小，以相對畸變誤差大小為終止條件進行迭代運算，最后得到準確矯正圖像點。

由于采用該模型需要進行直線提取，而在進行直線提取中會出現(xiàn)誤將曲線提取未直線而有可能導(dǎo)致后面畸變系數(shù)的求解錯誤，從而降低了矯正的精度，但是該方法實現(xiàn)了自動提取圖像特征直線，能夠全自動完成圖像矯正工作。

2.4 比例函數(shù)模型

針對廣角和拋物線型折反射鏡片，根據(jù)鏡片空間幾何特點，可以采用比例函數(shù)[10]進行畸變矯正，其核心步驟就是找到一個映射關(guān)系，將圖像空間映射到3D相機光線空間，然后將問題轉(zhuǎn)化為求解線性方程問題。映射關(guān)系[11]如公式(7):

(7)

其中表示圖像坐標，，表示一個矩陣，利用雙目視覺理論對矩陣求解，同時還能求解去基礎(chǔ)矩陣，為了提高求解結(jié)果的精度，可以結(jié)合非線性優(yōu)化方法，以及采用RANSAN方法去除外點。得到矩陣畸變矩陣后，就可以利用公式(8)的比例函數(shù)對圖像空間點進行畸變矯正。

(8)

該模型在求解畸變矩陣，所得到的結(jié)果并不穩(wěn)定，如何提高該模型的穩(wěn)定性以及降低計算復(fù)雜度，還有待研究。

3 結(jié)語

如前面所提到的，攝像機畸變其本質(zhì)就是尋找一個變換函數(shù)關(guān)系，將實際的圖像點平面映射到理想圖像點平面，根據(jù)不同應(yīng)用場合精度需求，采用不同的畸變矯正模型，還需要根據(jù)實際需求，計算個模型中畸變參數(shù)。目前，攝像機畸變矯正根據(jù)鏡頭的本身特征提出了不同數(shù)學(xué)模型，也有根據(jù)同一個模型采用不同的約束條件來實現(xiàn)對畸變參數(shù)的求解和優(yōu)化。從不同攝像機畸變模型出發(fā)有不同的畸變矯正方法，適當(dāng)根據(jù)鏡頭應(yīng)用情況選擇不同的模型是提高精度，提高算法的效率。而且設(shè)計新的比較符合攝像機本身物理結(jié)構(gòu)而又便于分析計算的使用模型是條另辟蹊徑的發(fā)展方向。

參考文獻

[1] R. I. Hartley and A. Zisserman.Multiple View Geometry in Computer Vision，2nd Ed.Cambridge:CUP，2003.

[2]S.B. Kang， Semi-Automatic Methods for Recovering Radial Distortion Parameters from a Single Image，Technical Reports Series CRL 97/3，DEC，Cambridge Research Labs，May 1997.