如何在例題教學中培養思維能力

【摘要】例題教學是數學教學的一個重要環節， 對學生掌握數學知識， 形成數學觀念， 提高解題能力， 培養學生實踐探索精神， 都起著重要的作用.本文初步探討了怎樣進行例題教學， 使之貼近學生， 發揮其作用.

數學課堂教學離不開例題， 而我們常有這樣的困惑：同類型的例題講過多遍， 學生反映聽懂了， 可是在下次解題中仍然一知半解.怎樣借助例題教學優化數學課堂教學呢？ 本文結合教學實踐， 就在例題教學中如何發揮學生的主體作用， 培養思維能力淺談自己的一些體會．

一、由淺及深、以點引面， 使例題有源可循

案例1空間中， n個平面最多將空間劃分為F（n） 個部分（n∈N*）， 如F（1）=2， F（2）=4， F（3）=8， 試求F（n）的解析式．

學生在嘗試用數學歸納法解決這個問題時， 由于給出的項較少， 不便于猜想．同時4 個平面最多將空間劃分成幾部分呢？ 5 個平面.這種思路直接， 但由于后來平面個數的增多， 使得解答過程比較困難．此時， 可以提出一個學生熟悉且易解決的問題： 記n條直線最多將平面劃分成的區域塊數為f（n）， 則f（n+1）-f（n）=； f（n）= ．

可以分析到， 第n+1 條直線和前面n 條直線都相交時，n 個交點在第n+1 條直線上形成n+1 條線段（或射線）， 這n+1 條線段（或射線） 將原來各自所在的區域一分為二， 故從n 條直線到n+1 條直線， 最多能多出n+1 塊區域， 即f（n+1）-f（n）=n+1， 后面結合f（1）由累加法可以求出f（n） ．

那么這兩個問題除了外在結構上相似， 有什么內在聯系呢？ 原來第n+1 個平面與前面n 個平面相交， 形成n 條交線； 這n條交線在第n+1 個平面上最多將其劃分為f（n）塊區域， 而每一塊區域將原來各自所在的空間一分為二。所以從n 個平面到n+1 個平面， 最多能多出f（n）個部分，即F（n+1）-F（n） =f（n）．

由于認知程度不同， 學生在接觸某些題目時， 往往會出現沒有思路、全然不知從何下手的情況．這就需要教師精選例題時， 能夠揭示例題的淵源， 甚至它的發展方向，讓它成為學生解題的源頭活水， 使得解題可持續發展．

二、改造例題環境， 開拓思維、靈活變通案

例2已知，x－y+2 0x＋y-4 02x-y-550， 求z=x+2y-4 的最大值與最小值．考查簡單的線性規劃， 借助幾何途徑來解決代數問題．學生作出可行域后， 找到目標函數的幾何意義， 利用圖形可以完成解題過程．后面我們不妨設置這樣的一些問題讓學生思考：

（1） 若將目標函數換為： ①z=2x+y-4； ②z=-x-y+4， 則結果有無變化？ 如果有變化， 是什么導致的？ 在變化過程中， 我們應當注意什么？

（學生通過作圖比較， 得出結果發生了變化， 是目標函數對應直線的斜率導致的， 解題時應特別關注目標函數對應直線與可行域邊界直線的相對傾斜程度， 把握圖形的準確性.并且會發現②中使得z=-x-y+4 取得最大值的最優解有無數個。）

（2） 若z=ax+y（a<0） 取最大值的最優解有無數個， 則a 應滿足什么條件？ 若僅在邊界C點處取到最大值呢？（由（1）中的②進一步演變， 尋找滿足條件的線性目標函數， 并嘗試從中歸納一些性質.）

（3） 求z=x2+y2-10y+25 的最小值；

（4） 求z=2y+1x+1的取值范圍；

（再次改變目標函數， 體現目標函數的幾何意義， 可以借助一組平行直線、兩點間的距離、兩點連線的斜率等等.）

（5） 請學生思考能否構造其他不同結構的目標函數？

（鼓勵學生進一步尋找探究， 待其提出方案后， 可及時討論解決.）

數學習題浩如煙海無窮無盡， 怎樣使得有限的例題發揮極大的作用呢？ 對例題環境進行適當的改造， 如加一個條件如何， 減一個條件如何， 變換某些條件又如何？ 不拘一格， 一題多問， 一問多變， 擴大例題的輻射面， 對培養學生思維的深度和廣度很有幫助.

例題不是教師的專利， 不一定都需要在教師的分析、講解中完成， 可以允許學生在解題中出現錯誤．在例題教學中， 學生質疑的問題可以成為最值得開拓的教學素材；意見的分歧也可以成為重要的教學熱點； 甚至偶發事件中也蘊涵著可貴的教學課題．總之， 學生的思想、創意、觀念、問題都可以成為課堂教學動態生成的資源.

如何針對知識結構、思想方法進行例題教學， 充分發揮學生的主體作用， 引領學生在探究活動中學會思考， 在情景變化中提升應變能力， 在辨析錯誤中優化思路？ 我們在實踐教學中應當堅持探索和不斷調整， 使之有助于激勵學生的學習興趣， 培養學生的思維能力.

【參考文獻】

［1］ 蔡先明. 例談新課程理念下課本例習題的教學. 高中數學教與學. 2006 年.

［2］ 王貴喜. 優化例題教學.提高思維能力. 高中數學教與學. 2007 年.