一道數學測試題對我的啟發

摘要：很多人都認為拿高分是學好數學的表現，學生們往往為追求高分而變成“書呆子”，長此以往必將成為教條主義，毫無創新。筆者認為培養學生的發散新思維是非常重要的。發散思維是一種重要的創造性思維、具有流暢性、多端性、靈活性、新穎性和精細性等特點。發散思維是不依常規，尋求變異，對給出的材料、信息從不同角度，向不同方向，用不同方法或途徑進行分析和解決問題的.那么什么是發散性思維呢，本文以道數學測試題學生的不同解法來進行一個簡單的探討。

關鍵詞：學生 三角形 思路

在2009—2010年第二學期中測評中，七年級有這樣一道試題:

一個零件的形狀如圖1，按規定∠A=90°，∠B=20°，∠D=30°，工人師傅經過測量后得到∠BCD=143°，就判斷這個零件不合格，試說明其中的道理。

在批閱卷子的時候，教師們就發現學生們的思路開闊，解題方法較多，等卷子發下以后，我發現我們班的學生對于這道題的解法真的是種類多多，這件事雖已過去這么久了，但我對學生們的思維方法，解題竅門由衷的贊嘆，而且時常在腦海中呈現，因此，我就把這道題解法寫出來，與大家共享。

解法一:

由于凹四邊形ABCD的內角和為360°

即∠A+∠B+∠D+∠a=360°

所以∠a=360°-(∠A+∠B+∠D) =360°-（90°+20°+30°）=220°

所以∠BCD=360°-∠a =360°-220°=140°≠143°

因此該零件不合格。

此解法為常規解法，但特別指出的是凹四邊形的內角和問題，學生能按此法推出結論也是值得贊賞的。

解法二:

如圖2所示，假設∠BCD=143°是正確的。

則∠a=360°-∠BCD=360°-143°=217°

∵∠A+∠B+∠D+∠a=360°

∴∠A+∠B+∠D=360°-∠a=360°-217 =143°

而已知條件∠A=90°，∠B=20°，∠D=30°

∠A+∠B+∠D =90°+20°+30°=140°

因此假設不正確，即工人師傅測量得到∠BCD=143°，就判斷這個零件不合格。

此解法類同于解法一，但采取的是逆向思維，利用反證法進行推理，當時學生沒學反證法，解題過程也不完全符合反證法的過程，但從實際上就是利用了反證法，在我評講這種解法時，學生臉上露出了自豪的神情，我也為學生感到欣慰。

解法三:

延長BC交AD于E，如圖3

∵∠DEC=∠A+∠B，

∠A=90°，∠B=20°

∴∠DEC=110°

又∵∠BCD=∠D+∠DEC， ∠ D=30°

所以∠BCD=30°+110°=140°

而工人師傅測量∠BCD=143°，因此這個零件不合格。

其實也可以延長DC交AB于F，解法類同，都是利用三角形的外角定理來解。

解法四：

連結BD如圖4

在△ABD中，∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°即∠A+∠ABC+∠CBD+∠ADC+∠CDB=180°

∴∠CBD+∠BDC=180°-(∠A+∠ABC+∠ADC)

=180°-（90°+20°+30°）

=40°

在△BCD中，

∵∠CBD+∠CDB+∠BCD=180°

∴∠BCD =180°-(∠CBD+∠BDC)

=180°-40°

=140°

而工人師傅測量∠BCD=143°，因此這個零件不合格。

解法五:

連結AC，如圖5

在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°

∴∠BCA =180°-∠B-∠BAC

=180°-20°-∠BAC

=160°-∠BAC

同理，在△ACD中，

∠ACD =150°-∠CAD

∴∠BCD =360°-(∠BCA+∠ACD)

=360°-（160°-∠BAC+150°-∠CAD）

=50°+(∠BAC+∠CAD)

=50°+90°

=140°≠143°

因此該零件不合格。