用單位圓巧解函數最值

中圖分類號：O174 文獻標識碼：A 文章編號：1008-925X(2011)11-0249-01

單位圓直觀形象，利用它可以巧解某些函數最值問題。

1 斜率型

sinθ-1cosθ-3的幾何意義是

定點A(3，1)與動點B(cosθ，sinθ)連線斜率的的2倍。如右圖所示動點p的軌跡方程是x2+y2=1

2 兩點距離型

例：已知s和t是實數，求函數f(s，t)=(s+2-cost)2+(s-sint)2的最小值。

解:f(s，t)的幾何意義是動點(s+2，s)到動點(cost，sint)的距離的平方。如右圖動點(s+2，s)的軌跡是直線y=x-2動點(cost，sint)的軌跡是單位圓。原點o到直線y=x-2

的距離d=2，結合圖形知：

3 點線距型

例：求函數y=｜x+2-1-x2｜的最值。

解：原函數可轉化為y=｜x+2-1-x2｜2·2

而｜x+2-1-x2｜2的幾何意義是動點（x，1-x2)到直線u-v+2=0的距離。如右圖動點(x，1-x2)的軌跡是單位圓的上半部分。

4 截距型

例：求函數y=｜x｜+1-x2的最值。

解：令u=｜x｜，v=1-x2，則

y=u+v，u2+v2=1，(u0，v0) 

y的幾何意義是直線u+v-y=0的縱截距。

如右圖：動點(u，v)的軌跡為單位圓在一象限的部分。