淺談學(xué)生數(shù)學(xué)感悟能力的培養(yǎng)

所謂感悟是個(gè)體憑借對(duì)語(yǔ)言及其語(yǔ)境的直感，獲得某種印象或意義的心理過(guò)程。它不遵循嚴(yán)密的邏輯規(guī)則，帶有濃厚主觀色彩，是感性與理性相統(tǒng)一的心理過(guò)程。感悟?qū)τ趯W(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有著重要的作用。但實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)中教師很少注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)感悟能力。本文就學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型和解題技巧略陳己見。

一、學(xué)生感悟數(shù)學(xué)模型能力的培養(yǎng)

所謂數(shù)學(xué)模型，是指針對(duì)或參照某種事物的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，概括地或近似地表述出來(lái)的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從近年來(lái)的中考試題看可以發(fā)現(xiàn)實(shí)際應(yīng)用的試題變多了，這是順應(yīng)社會(huì)發(fā)展的要求的，這就要求數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過(guò)程中要注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，而學(xué)生要用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)必須明確運(yùn)用什么知識(shí)，也就是給實(shí)際問(wèn)題建立什么數(shù)學(xué)模型。因而學(xué)生必須具備感悟數(shù)學(xué)模型的能力。我認(rèn)為可以通過(guò)這幾個(gè)途徑達(dá)此目的。

1.注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈

數(shù)學(xué)知識(shí)的形成源于實(shí)際的需要和數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要。在教學(xué)時(shí)應(yīng)注重從生活實(shí)際引入新知識(shí)，這樣有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，為學(xué)生主動(dòng)從數(shù)學(xué)的角度去分析現(xiàn)實(shí)問(wèn)題、解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題提供示范。從現(xiàn)實(shí)背景出發(fā)引入新知識(shí)，多讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和探索解決問(wèn)題的全過(guò)程。比如在教學(xué)《垂直于弦的直徑》時(shí)可引入這樣一個(gè)實(shí)例：

如圖，一個(gè)圓形的廣場(chǎng)，在廣場(chǎng)內(nèi)部某點(diǎn)P有一旗桿，過(guò)旗桿引一條直線，使得從旗桿到兩個(gè)邊緣的距離相等，如何引這條直線？

通過(guò)實(shí)例可以激發(fā)學(xué)生探求問(wèn)題的欲望，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作得出正確的結(jié)果，從而導(dǎo)出垂徑定理。在討論完垂徑定理內(nèi)容之后再出示一道實(shí)際問(wèn)題讓學(xué)生感悟用垂徑定理知識(shí)來(lái)解決的問(wèn)題的特征，加強(qiáng)了實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系。

2.積極開展運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的活動(dòng)

教師除了提出合適的實(shí)際問(wèn)題外，可以組織學(xué)生深入社會(huì)調(diào)查、收集、提出生活或生產(chǎn)中的實(shí)際問(wèn)題并嘗試用所學(xué)知識(shí)予以解決。活動(dòng)中應(yīng)給學(xué)生留有充分的自主活動(dòng)的時(shí)間和空間，幫助他們自主地探索與合作交流，讓他們真正感悟數(shù)學(xué)規(guī)律。

3.加強(qiáng)數(shù)學(xué)背景、數(shù)學(xué)史料等內(nèi)容的教學(xué)

教學(xué)中應(yīng)介紹一些數(shù)學(xué)背景知識(shí)及其輔助材料。比如數(shù)學(xué)史料、數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的背景材料、數(shù)學(xué)家的簡(jiǎn)介以及數(shù)學(xué)在現(xiàn)代生活中的廣泛應(yīng)用等，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程有所了解，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在人類發(fā)展歷史中的作用和價(jià)值，為學(xué)生感悟數(shù)學(xué)模型提供一定的基礎(chǔ)。

二、學(xué)生感悟解題技巧能力的培養(yǎng)

解題技巧是指非常規(guī)性解題方法，對(duì)快捷解題尤為重要，但學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)難度較大。我認(rèn)為學(xué)生要能運(yùn)用解題技巧進(jìn)行解題必須對(duì)解題技巧有一定的感悟能力。下面以對(duì)輔助線的感悟談些意見。

添置輔助線是解決幾何論證和計(jì)算問(wèn)題的重要方法，它能架起已知與未知之間聯(lián)系的橋梁，然而添置輔助線并不是件易事，一般因題而異，成為幾何學(xué)習(xí)中的一個(gè)難關(guān)。通過(guò)對(duì)一些添置輔助線實(shí)例的感悟，不失為提高添置輔助線能力的有效做法。

1.新授課中加強(qiáng)典型輔助線的教學(xué)

雖然說(shuō)輔助線沒(méi)有固定的規(guī)律可循，但是對(duì)于大部分題目來(lái)說(shuō)，其輔助線的添置還是講規(guī)律的，因此加強(qiáng)典型輔助線的教學(xué)必不可少。比如教學(xué)圓這一章內(nèi)容時(shí)可分下列情況進(jìn)行：

①教學(xué)圓的基本概念時(shí)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)作半徑；②教學(xué)垂徑定理時(shí)重在強(qiáng)調(diào)過(guò)圓心作弦的垂線段（即弦心距）構(gòu)建直角三角形；③教學(xué)圓周角定理的推論時(shí)強(qiáng)調(diào)作直徑或連結(jié)圓上兩點(diǎn)得出直徑所對(duì)的圓周角；④教學(xué)切線時(shí)強(qiáng)調(diào)連結(jié)圓心與切點(diǎn)；等等。加強(qiáng)典型輔助線的教學(xué)能促使學(xué)生感悟和體驗(yàn)添置輔助線的一般規(guī)律，為幾何題的論證與計(jì)算提供了準(zhǔn)備。

2.適時(shí)進(jìn)行變式訓(xùn)練

除了在新授課上進(jìn)行典型輔助線教學(xué)外，還應(yīng)適時(shí)進(jìn)行變式訓(xùn)練和綜合練習(xí)。比如有這樣一道題：

如圖，在ΔABO中，∠AOB=90°，以O(shè)為圓心OB為半徑作圓交AB于C，交AO于D，∠BAO=27°，求BC和DC的度數(shù)。

這道題的輔助線多達(dá)十多種，方案一可以通過(guò)競(jìng)賽活動(dòng)讓學(xué)生展開自己的思維，思考出這些輔助線，并對(duì)每種輔助線予以完整的解題過(guò)程；方案二直接提供多種輔助線請(qǐng)學(xué)生（a）按每種輔助線完成解題，（b）思考為什么要這樣添線，感悟添線的思考方法。

3.擴(kuò)大學(xué)生的數(shù)學(xué)課外閱讀面

數(shù)學(xué)課外閱讀很少被廣大教師和學(xué)生所重視，然而要提高學(xué)生的感悟能力一定的課外閱讀量是必不可少的。學(xué)生通過(guò)閱讀不僅能擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識(shí)面為感悟奠定基礎(chǔ)，又能增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。閱讀要做好摘錄，又要做到相互間的合作與交流，促使共同提高。學(xué)生通過(guò)大量有關(guān)輔助線的課外資料閱讀自然而然地提高了對(duì)輔助線的感悟能力。

學(xué)生的數(shù)學(xué)感悟能力不僅表現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)模型和解題技巧的感悟上，還表現(xiàn)在其它方面比如對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟、數(shù)學(xué)方法的感悟等，在此僅拋磚引玉，誠(chéng)懇同行共同探討。

（作者單位：江蘇省如皋市城北初級(jí)中學(xué)）