高中數學教學中逆向思維的培養

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1008-925X(2011)06-0085-02

摘要：逆向思維是數學思維的一個重要組成部分，是進行思維訓練的載體。加強從正向思維轉向逆向思維的培養，能有效地提高學生思維能力和創新意識。本文以概念、公式逆用、逆定理等教學及習題中的逆向變式訓練等方面闡述了如何加強學生數學逆向思維能力的培養。

關鍵詞：高中 數學教學 逆向思維 培養

逆向思維是指由果索因，知本求源，從原問題的相反方向著手的一種思維。它是數學思維的一個重要原則，是創造思維的一個組成部分，也是進行思維訓練的載體，培養學生逆向思維過程也是培養學生思維敏捷性的過程。傳統教學思維已不合時宜。由于傳統教學的方式方法的原因，也有教材本身的限制，學生常采用綜合思維的方法。即從已知出發，聯系相關的知識步步揄和演算，最后完成解題，這樣的解題思維形式是數學的最基本思維形式，也是學生必須掌握的數學思想方法，但這種思維形式本身就有它的局限性，如果一成不變地使用這種模式來引導我們的學生，必然會限制學生的思維，使思維呆板或受阻，缺乏靈活性和創新能力，也很容易讓學生誤入歧途，或多走彎路，或陷入窘境。因為使用這種思維方法，由已知可聯系定理、公理等一般不是唯一的（特別是對較為復雜的綜合性題目），由此摸索出來的解題路徑也不是唯一的。因此學生往往會無所適從，不知從哪兒下手，于是有許多學生反映出這么一種現象；書本知識能夠過關，卻又不會解題。

逆向思維方法探索。古代有司馬光幼年砸缸破水救小孩的故事，他為什么能取得成功，或者說司馬光聰明在何處呢？就在于他的思維方法獨特，即緊緊抓住了使水離開人這個問題的中心，用石頭破缸。

如果學生有逆向思維的能力，從問題的反面去剖析、理解、應用、推理、設想，他就能克服思維定勢的弊端，就容易找到解題的突破口，尋找到解題方法和恰當路徑，使解題過程簡潔明了，新穎，或許會創造出更新更好的方法，從而提高學生的辯證思維能力。因此培養學生的逆向思維能力，應是數學課堂教學中不容忽視的一項教學任務。本文擬議談我的具體做法。

1 加強概念中“互為”關系的理解訓練

數學概念、定義總是雙向，相互的，我們在平時的教學中會遇到許多“互為”關系的概念：如“互為反函數”、“相互獨立”、“互為逆定理”等等，讓學生從上述這些概念的正反兩面去思考，透徹理解它們是培養學生逆向思維能力，幫助學生建立雙向思維的好機會。

例1，利用指數函數Y=a 來引出它的反函數對數的概念Y=Logx這樣能夠加深學生對這兩個函數的定域義，值域以及圖象之間的聯系以及它們性質的理解。

利2，若干門同一門大炮同時對某一目標射擊一次。已知每一門大炮射擊一次擊中目標的概率是0.3。那么要多少門這樣的大炮同時射擊一次，才能使被擊中的概率超過95％。

分析：如果從正面求擊中的概率計算比較困難，那么從反面先求擊不中的概率就容易了

解：每一門大炮射擊一次擊中目標的概率是0.3，則每一門大炮射擊一次擊不中目標的概率是0.7

應有 1-0.7 >0.95 解得 ：n>8.4

2 加強公式逆向應用的訓練

數學中的公式都具有雙向性。正向運用它們的同時，加強公式的逆向應用訓練，不僅可以加深學生對公式的理解的掌握，培養學生靈活運用公式的能力，還可以培養學生的雙向思維能力。

例如：設abcd均為實數，且ad－bc=1，a ＋b ＋c +d -ab＋cd＝l，求abcd的值。

分析由第二個等式聯想道用完全平方公式．由已知得 a ＋b ＋c +d -2ab+2cd+2bc-2da=0，即：

（a－b） ＋（b＋c） +(c+d) ＋（d－a） =0。

即得 a＝ b= d＝－c，而 ad－bc=1，可得 a =1/2，從而得 abcd=-a =-1/4

3 加強由果索因的方法（即分析法訓練）和反證法訓練

分析法是由果索因，綜合法是由因導果。在研究問題時，往往兼用這兩種思維方法，從分析中得到思路，用綜合法嚴謹地表述解題過程。這樣可促進雙向思維的培養，也可簡化思維過程。

例3 ， a，b，c，d均為正數，求證（a/b+c/d）（b/a+d/c）≥4

分析 若直接從已知出發，無從下手，而從結論開始分析將柳暗花明。欲證（a/b+c/d）（b/a+d/c）≥4，即證明1+ad/bc+bc/ad+1≥4就是要證ad/bc+bc/ad≥2，即證：(ad)2+(bc)2≥2abcd，即：(ad-bc)2≥0由實數的性質顯然成立，從而找到證題起點。

反證法也是幾何中尤其是立體幾何中常用的方法。有的問題直接證明有困難，可反過來思考，假設所證的結論不成立，經層層推理，設法證明這種假設是錯誤的，從而達到證明的目的。

4 加強舉反例訓練

用命題形式給出的一個數學問題，要判斷它是錯誤的，只要舉出一個滿足命題的條件，但結論不成立的例子，就足以否定這個命題，這樣的例子就是通常意義下的反例。

學會構造反倒不僅對加深記憶，深入理解定義、定理或公式等起著重要的作用，同時它也是糾正錯誤的常用方法，是培養逆向思維能力的重要手段。例如：命題“如果直線a∥平面α，則直線a∥平面α內的任何一條直線”為假命題，只需在平面α內找出和直線a為異面直線即可判其為假。說明“a>b，則a >b ”為假命題，只需舉a=-2 b=-3即可。

5 加強逆定理的教學

每個定理都有它的逆命題，但逆命題不一定成立，經過證明后成立即為逆定理。逆命題是尋找新定理的重要途徑。在平面幾何中，許多的性質與判定都有逆定理。如：平行平面的性質與判定，三垂線定理和三垂線的逆定理等，注意它的條件與結論的關系，加深對定理的理解和應用，重視逆定理的教學應用對開闊學生思維視野，活躍思維大有益處。

“思維能力的發展是學生智力發展的核心，也是智力發展的重要標志。”，因此在高中數學課堂教學中培養學生的逆向思維能力，不僅對提高解題能力有益，更重要的是改善學生學習數學的思維方式，有助于形成良好的思維習慣，激發學生的創新開拓精神，培養良好的思維品性，提高學習效果、學習興趣，及提高思維能力和整體素質。

參考文獻

［1］ 摘自：全日制普通高級中學教科書第二冊（下B）.P135

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