初中數學教學中的分類思想滲透

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A 文章編號：1008-925X(2011)06-0089-02

摘要：數學學習離不開思維，數學探索需要通過思維來實現，在初中數學教學中逐步滲透數學思想方法，培養思維能力，形成良好的數學思維習慣，既符合新的課程標準，也是進行數學素質教育的一個切入點。

關鍵詞：分類思想 初中數學 滲透教學

教學中可以從以下幾個方面，讓學生在數學學習過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對分類思想的主動應用。

1 滲透分類思想，養成分類的意識

每個學生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學生的這一認識基礎，把生活中的分類遷移到數學中來，在教學中進行數學分類思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如數的分類，絕對值的意義，不等式的性質等，都是滲透分類思想的很好機會。

2 學習分類方法，增強思維的縝密性

在教學中滲透分類思想時，應讓學生了解，所謂分類就是選取適當的標準，根據對象的屬性，不重復、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關鍵所在。

分類的方法常有以下幾種：

2.1 根據數學的概念進行分類：有些數學概念是分類給出的，解答此類題，一般按概念的分類形式進行分類。

例1、解關于x的不等式：ax＋3＞2x+a

分析通過移項不等式化為（a－2）x>a－3的形式，然后根據不等式的性質可分為a－2＞0，a－2＝0，和a－2＜0三種情況分別解不等式。

當a－2＞0，即a＞2時，不等式的解是x>

當，a－2＝0，即a＝2時，不等式的左邊＝0，不等式的右邊＝－1

因為01－1，所以不等式的解是一切實數。

當a－2＜0，即a＜2時，不等式的解是x<

2.2 根據圖形的特征或相互間的關系進行分類：如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，直線和圓根據直線與圓的交點個數可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。

例如 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，底邊長為a，則其腰上的高是

分析：本題根據圖形的特征，把等腰三角形分為銳角三角形和鈍角三角形兩類作高CD，如圖，可得腰上的高是 或從幾何圖形的點和線出現不同的位置進行分類

在證明圓周角定理時。由于圓心的位置有在角的邊上、角的內部，角的外部三種不同的情況，因此分三種不同情況分別討論證明。先證明圓心在圓周角的一條邊上，這種最容易解決的情況，然后通過作過圓周角頂點的直徑，利用先證明（圓心在圓周角的一條邊上）的這種情況來分別解決圓心在圓周角的內部、圓心在圓周角的外部這兩種情況。這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法。它是根據幾何圖形點和線出現不同位置的情況逐一解決的方法。教材中在證明弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。也是如此分圓心在弦切角的一條邊上，弦切角的內部、弦切角的外部三種不同情況解決的。

3 引導分類討論，提高合理解題的能力

初中課本中有不少定理、法則、公式、習題，都需要分類討論，在教授這些內容時，應不斷強化學生分類討論的意識，讓學生認識到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現錯誤。在解題教學中，通過分類討論還有利于幫助學生概括，總結出規律性的東西，從而加強學生思維的條理性，縝密性。

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：其一是涉及代數式或函數或方程中，根據字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內討論解決問題。其二是根據幾何圖形的點和線出現不同位置的情況，逐一討論解決問題

例2、已知函救y＝（m-1）x2＋（m-2）x－1（m是實數）。如果函數的圖象和x軸只有一個交點，求m的值。

分析：這里從函數分類的角度討論，分 m－1=0 和 m－110 兩種情況來研究解決問題。

解：當m＝l 時函數就是一個一次函數y＝－x－1，它與x軸只有一個交點（-1，0）。

當 m11 時，函數就是一個二次函數y＝（m－1）x2＋（m－2）x－1

當△＝（m－2）2+4（m－1）=0，得 m=0.

拋物線 y=－x2－2x－1，的頂點（－1，0）在x軸上

例3、 函數 y=x6-x5+x4-x3+x2-x+1，求證：y 的值恒為正數。

分析：將y的表達式分解因式，雖可證得結論但較難。分析可發現，若將變量x在實數范圍內適當分類，則問題容易解決。

證明：（1）當x ≤0時

∵ x5-x3-x≥0 ，∴ y≥1恒成立；

（2）當0

y=x6+（x4-x5）+（x2-x3）+（x-1）

∵x4>x5，x2>x3，1>x

∴y>0成立；

（3）當x=1時，y=1>0成立；

（4）當x>1時

y=（x6-x5）+（x4-x3）+（x2-x）+1

∵ x6>x5，x4>x3，x2>x

∴ y>1成立

綜上可知，y>0成立。

由以上的幾個例子，我們可以看出分類討論往往能使一些錯綜復雜的問題變得異常簡單，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。另一方面在討論當中，可以激發學生學習數學的興趣。

利用現有教材，教學中著意滲透并力求幫助學生初步掌握分類的思想方法，結合其它數學思想方法的學習，注意幾種思想方法的綜合使用，給學生提供足夠的材料和時間，啟發學生積極思維。相信會使學生在認識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學成效。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文