淺析幾何概型在新課改中的應用

摘要幾何概型是課改新增加內容，對具體題目所涉及的正確理解與使用，既是教學中重點、難點，也是正確解決幾何概型問題的關鍵所在。把問題轉化為相應的幾何圖形， 正確選擇恰當的幾何概型決定了問題解決的成敗。

關鍵詞 新課程 幾何概型 測度

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A

Shallow Analysis of Geometric Probability Applied in New Course Reform

ZHOU Xuewei

(Harbin No.14 Middle School， Harbin， Heilongjiang 150076;

Harbin Normal University， Harbin， Heilongjiang 150080)

AbstractGeometric probability model is a new increase class in new course reform， the correct understanding and using of the specific topic， is both teaching key points and difficulties， change the problems into corresponding geometric figure， the correct choice of appropriate geometric probability model determines the success or failure of problem solving.

Key wordsnew course; geometric probability; measure

幾何概型是高中新課程標準中新增的知識內容之一，它是一種特殊的隨機概率模型，幾何概型是在古典概型基礎上進一步的發展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸。是概率問題的幾何形式，近幾年也是高考考查的重要內容。利用樹形圖去確定基本事件數中的數形結合思想，利用互斥事件去求概率中的分類討論思想，把實際問題轉化為幾何概型去求解中的轉化與化歸的思想，以達到培養學生數學思維的目的。

1 幾何概型的定義理解

幾何概型定義：如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型。

幾何概型的剖析：

（1）實驗的結果不是有限個，在一個區域（一維，二維，三維或n維）均勻分布，樣本點等可能發生在區域內，與所在區域的形狀位置無關，與該區域的大小有關。

若記事件A={任取一個樣本點，它落在區域dD}，則事件A的概率P(A) = 。

（2）幾何概型，判斷一個概型是否為幾何概型，主要看三個特征，一是試驗結果的無限性，二是試驗結果的等可能性，三是可以轉化為求某個幾何圖形的測度的問題。在幾何概型中，一個隨機事件發生應理解為取到區域內的某個指定區域中的點，該事件發生的概率P(A) = ，測度可以是長度、角度、面積、體積。幾何概型和古典概型最本質的區別是試驗結果是否有限。

（3）古典概型與幾何概型的區別。相同點：兩者基本事件的發生都是等可能的。不同點：古典概型要求基本事件有有限個，幾何概型要求基本事件有無限多個。

2 適當選擇測度來解決幾何概型問題

在高中數學教學中，課堂問題變式教學不僅是給學生形式上的參與和表象上的傳授，關鍵是使學生對問題的認知、探索、發現、設計、解決、創造等方面有更深層次的理解，從而使學生能夠成功辨別各種變異，掌握特定的數學知識和方法.下面略舉幾個例子談談解幾何概型問題，如何選用適當的測度，希望對大家的學習有所幫助。

2.1 一維空間測度區域長度

例1.小美參加約會需坐公交車，每5分鐘發車一次，達到時刻是隨機，他候車時間不超過3分鐘的概率。

解析： 類似于古典概型，關鍵是找到其中每一個基本事件。注意到每一個基本事件都與唯一一個斷點一一對應，故引例中的實驗所對應的基本事件組中的基本事件就與線段上的點一一對應，由于在古典概型中事件A的概率為P包含的基本事件個數/總的基本事件個數，但這兩個數字（A包含的基本事件個數、總的基本事件個數）在例1中是無法找到的，不過用線段[3，5]的長除以線段[0，5]長表示事件A的概率似乎也是合理的。

解：記候車時間不超過3分鐘為事件A，則事件A構成的區域L0 = {t|0≤t≤3}，區域長度為L = {t|0≤t≤5}，由于只有一個變量，可轉化為區域長度問題：∴

評注：抓住幾何概型的本質，基本事件是在5分鐘內的任何時段，可以看成在長度5的線段上取點，即每取一個數便是在線段上隨機取一點。

2.2 二維空間區域面積

例2.（1）小美和小麗兩人約定在6點到7點之間會面，并約定先到者應等候另一人一刻鐘，過時即可離開，求兩人能會面的概率。

解析：設小美和小麗到達約會地點的時間從6點記起分別為x，y，(x，y)全部結果所構成的平面區域為{(x，y)|0≤x≤60，0≤y≤60}，兩人能夠會面的充要條件是|x-y|≤15，由于兩個變量，可轉化為區域面積問題：

做出區域

設兩人能會面的為事件A，

評注：本題研究線段的截取法的時候涉及到兩個分點，它不同于一個點截取線段那么具體直接，需要將每種截取方法當成一個事件看待，每種截法對應著一對新的“元”，從而建立二維平面，將基本事件抽象成具體的“點”，讓一個“基本事件”對應著一個“點”。

2.3 三維空間區域體積

例3.小美和小麗約好到小明家做客，小美在6點到7點之間到達，小麗在6點到7點之間到達，小明有事要在6:30到7:30之間離開，問他們能同時做客的概率是多少？

明確時間的條件和結果，準確把握區域和測度。

解析：設小美到達的時間是x，小麗到達的時間是y，小明離開的時間是z，(x，y，z)全部結果所構成的空間區域為{(x，y，z)|6≤x≤7，6≤y≤7，5≤z≤7.5}

他們能同時做客的條件是

幾何體分析：建立坐標系xyz，時間從6點記起，底面是ABCD，E，F，G，H，I，J，K分別為各棱的中點，HF∩EK = M，構成的正方體體積為1€?€? = 1

他們能同時做客事件A，構成的幾何體是截取三棱柱AHG-BIF，三棱柱EBI-CKJ，兩三棱柱的公共部分是四棱錐I-BEMF，區域體積

則所求事件的概率是

評注：基本事件構成的幾何體要在已知的條件下通過計算體積求出概率，雖然在測度上比較容易把握，但在計算時需要立體幾何的鋪墊，是比較困難的。

3 幾何概型的教學中的感悟

通過對數學問題進行多角度、多方面的變式探索研究，有意識地引導學生從變的現象中發現不變的本質，從不變的本質中探索變的規律，從中不僅能增強學生的創新意識和應變能力，而且能優化學生的思維品質，培養發現問題和解決問題的能力和素質。

在以構建系統知識為取向的現有課堂教學中，實施有效課堂問題變式教學的關鍵在于確定合適的潛在距離和合理的變異空間.問題變式安排應遵循以下基本原則：第一，在問題的外貌特征上，每一個問題都相似；第二，在問題上變異增加，每一問題難度上逐漸增加；第三，在變異增加的內容上，應該從簡單到復雜，從具體到抽象。

變式訓練不是簡單的重復。關于特定數學內容的問題變式，有助于幫助學生關注特定數學內容的不同方面，有助于促使學生產生體驗新的知識的深切體會，有助于促成學生形成看待原有問題的全新視角.所有這些，就其外在表象而言，接觸了更多的變異，就其內在而言，產生了深刻的理解.學生對明顯是點分布的幾何概型問題較容易理解，對于隱性（不明顯）幾何概型問題的測度，有時并不能分辨，通過以上例題的分析與思考進行總結，我們還會發現，測度具有如下性質：

（1）測度具有可變性——它可以是線段的長度，是平面圖形的面積、角度，是立體圖形的體積等；（2）測度具有可求性——相應圖形的長度、角度、面積、體積等都應該是能夠求出來的；（3）測度具有可轉換型——等可能的等價轉換，角度轉換成長度問題，長度問題轉換成面積問題等。

只要充分領會教材的編寫意圖，宏觀上理清思路，在微觀上推敲細節，并多思考教材為什么這樣編寫，把握好教材的編寫線索。

4 結語

幾何概型是一種概率模型，它與古典概型的區別是試驗的可能結果不是有限個，幾何概型的測度的把握關鍵是對于基本事件的分析，再運用等價轉化和數形結合的思想把問題“幾何化”，再定好測度，把握區域就能迎刃而解。掌握到幾何概型的“約會問題”的方法和技巧，必能熟練將“約會”進行到底。

參考文獻

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