縱覽三角 回到“原點”

2011年廣東高考語文作文題目是《回到原點》，其實數學學習又何嘗不是呢？“原點”顧名思義，就是源頭. 滾滾長江東逝水， 浪淘風簸自天涯.潺潺溪水，匯聚江海，巍巍高樓，源自基石.回到“原點”就是回到知識的源頭，知道從哪里來，要到哪里去.人的認知是有規可循的，我們必須遵循這個規律，否則只會事倍功半.2011年全國各地高考試題對三角板塊的考查充分說明了這一點.比如今年陜西卷的“敘述并證明余弦定理”就是回到“原點”的典型案例，現結合自己多年帶高三的體驗對三角板塊做個總結和點評，與下屆高三學子分享.

一、縱覽三角考點，給力雙基

三角函數和三角恒等變換是高中數學三角板塊的傳統重點內容，隨著教材改革的不斷深入和新課程標準的實施，教學中對這一塊傳統內容的處理也應該隨之改革.相對于其他基本初等函數而言，高考中對三角函數的要求有明顯的降調傾向，近年各地區的高考三角題中，多以容易題和中等題為主，容易看出幾個趨勢，即都突出了“和、差、倍角公式”的應用，突出正、余弦函數的主體地位，尤其是在客觀題中加強了對三角函數圖像與性質的考查，解答題主要考查三角函數式的恒等變換及三角函數的綜合應用.從2011年高考可以看出，“回到原點”和“注重傳統”是今年高考三角題的兩大亮點，解三角形的地位也在日益加強.由于新教材比較注重三角函數與其它知識點的交匯，因此把兩者結合起來考查也算一個熱點.

二、剖析典型考題，精彩紛呈

從今年高考情況看，三角部分主要還是考查基本功，從內容角度看基本功問題、三角知識交匯點、應用型問題是考查的重點，從題型角度看大致有三種類型，即求值問題、三角函數的圖像和性質、解三角形.其中求值問題又是重中之重，比如給值求值、給角求值、給值求角等.

例1.（2011年陜西卷）敘述并證明余弦定理.

剖析：本小題主要考查三角函數的基本公式的運用和三角函數與其鄰近知識的聯系，可以考慮與平面向量、解析幾何、平面幾何等交匯，同時考查基本運算能力.

解析：敘述余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦之積的兩倍.或：在?葒ABC中，a，b，c為A，B，C的對邊，有a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB，c2=a2+b2-2abcosC.證明如下：

方法1：因為■=■+■(圖1)，所以■·■=(■+■)·(■+■)=■+2■·■+■=｜■｜2

＋2｜■｜·｜■｜cos（180°-A）+｜■｜2=c2-2cbcosA+b2，即a2=b2+c2-2bccosA.同理可得b2=c2+a2-2cacosB，c2=a2+b2-2abcosC.

方法2：如圖2，建立直角坐標系，則A（0，0），B（ccosA，csinA），C（b，0）.所以a2=（ccosA-b）2+（csinA）2=c2cos2A+c2sin2A-2bccosA+b2=b2+c2-2bccosA.

同理可證b2=c2+a2-2cacosB，c2=a2+b2-2abcosC.

（注:此法的優點在于不必對是銳角、直角、鈍角進行分類討論）.

方法3：若A是銳角，如圖3，由B作BD⊥AC，垂足為D，則AD=ccosA.所以a2=DC2+BD2=（AC-AD）2+BD2=AC2+AD2-2AC·AD+BD2=AC2+（AD2+BD2）-2AC·AD=b2+c2-2bccosA，

即a2=b2+c2-2bccosA.

類似地，可以證明當A是鈍角時，結論也成立，而當A是直角時，結論顯然成立.

同理可證：b2=c2+a2-2cacosB，c2=a2+b2-2abcosC.

方法4：由正弦定理得a=2RsinA=2Rsin（B+C）.

所以：

a2=4R2sin2（B+C）=4R2（sin2Bcos2C+cos2Bsin2C+2sinBsinCcosBcosC）

=4R2［sin2B（1-sin2C）+（1-sin2B）sin2C+2sinBsinCcosBcosC］

=4R2［sin2B+sin2C+2sinBsinCcos（B+C）］

=4R2sin2B+4R2sin2C-2（2RsinB）（2RsinC）cosA

=b2+c2-2bccosA.

同理可證b2=c2+a2-2cacosB，c2=a2+b2-2abcosC.

例2． （2011年廣東卷）已知函數f（x）=2sin(■-■)，x∈R.

（1）求F(■)的值；

（2）設?琢，?茁∈［0，■］，f(3?琢+■)=■，f（3?茁+2?仔）=■，求cos（?琢+?茁）的值．

剖析：本題主要考查考生對特殊角三角函數值與基本三角變換公式的掌握情況，同時考查基本運算能力.

解析： (1)f(■)=2sin(■-■)=2sin■=■.即f(■)的值是■．

(2)∵ f(3?琢+■)=2sin?琢=■，∴sin?琢=■．又?琢∈[0，■]，∴cos?琢=■．

又∵f（3?茁+2?仔）=2sin(?茁+■)=2cos?茁=■，∴cos?茁=■，

又?茁∈［0，■］，∴sin?茁=■，∴cos（?琢+?茁）=cos?琢cos?茁-

sin?琢sin?茁=■，即cos(?琢+?茁)的值是■.

例3． （2011年湖北卷）設?駐ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.已知a=1，b=2，cosC=■.（1）求?駐ABC的周長；（2）求cos（A-C）的值.

剖析：本小題主要考查三角函數的基本公式和解斜三角形的基礎知識，同時考查基本運算能力.

解析：（1）∵c2=a2+b2-2abcosC=1+4-4×■=4，

∴c=2，∴?駐ABC的周長為a+b+c=1+2+2=5.

（2）∵cosC=■，∴sinC=■=■=■，∴sinA=■=■=■.∵a

∴cosA=■=■=■.

∴cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC=■×■+■×■=■.

例4． （2011年江蘇卷）在△ABC中，角A、B、C所對應的邊為a、b、c.

（1）若sin(A+■)=2cosA，求角A的值；（2）若cosA=■，b=3c，，求sinC的值.

剖析：本小題主要考查三角變換和解斜三角形的基礎知識，同時考查基本運算能力，這類試題今年高考的熱點，在各地試題中頻繁出現.估計以后這類題型仍會保留，不會有太大改變.解決此類問題，要根據已知條件，靈活運用正弦定理或余弦定理，求邊角或將邊角互化.

解析：（1）∵sin(A+■)=2cosA，∴sinA=■cosA，∴A=■.

（2）∵cosA=■，b=3c，∴a2=b2+c2-2bccosA=8c2，a=2■c．

由正弦定理得：■=■，而sinA=■A=■，∴sinC=■.（也可以先推出直角三角形）

例5． (2011年四川卷）已知函數f（x）=sin(x+■)+cos(x-■)，x∈R．

（1）求f（x）的最小正周期和最大值；

（2）已知cos（?茁-?琢）=■，cos（?茁+?琢）=-■，（0

剖析：本小題主要考查三角變換、三角函數的圖像和性質以及輔助角公式，同時考查基本運算能力，這類試題考查考生基本的三角素養，其對考試格局的影響不容忽視.

解析：f（x）=sinxcos■+cosxsin■+cosxcos■+sinxsin■=■sinx-■cosx=2sin（x-■），

所求函數的最小正周期和最大值分別為：T=2?仔，[f（x）]max=2.

（2）∵cos（?茁-?琢）=cos?琢cos?茁+sin?琢sin?茁=■，

cos（?茁+?琢）=cos?琢cos?茁-sin?琢sin?茁=-■，

∵ cos?琢cos?茁=0，又0

∴f（?茁）＝■，∴[f（?茁）]2-2＝0.

三、探究來年備考，顯山露水

歷年高考試題試題中三角部分可以大致分為三大內容，即三角函數的圖像與性質、三角恒等變換以及正余弦定理的應用，具體可以有以下五個方面：⑴三角函數的圖像與性質；⑵三角函數的最值問題；⑶正、余弦定理的應用；⑷向量與三角的結合；⑸三角函數應用題。針對以上情況下屆學子三角復習中仍然需要回到知識源頭，重點從以下四個方面過關：

3.1.尋根溯源

用任意角三角函數的定義推導同角三角函數基本關系及誘導公式.特別是單位圓中三角函數線，例如利用三角函數線推導誘導公式，利用三角函數線比較（0，■）上x，sinx，cosx，tanx的大小關系以彰顯三角函數的幾何特性，在三角函數式的化簡中，利用“化弦法”、“化切法”、“1的代換”等技巧手段.

3.2.知識內化

從任意角三角函數的定義到函數y=Asin（?棕x+?漬）+k的圖解與性質就是一個知識內化的過程，考生應該從函數的觀點看待三角.應該重點復習函數y=Asin（?棕x+?漬）+k圖像的平移、伸縮、對稱和翻折變換，函數y=Asin（?棕x+?漬）+k的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性，學會用“五點法”畫圖和通過圖像確定函數y=Asin（?棕x+?漬）+k的解析式，能夠正確理解A，?棕，?漬，k的幾何意義以及它們對函數圖像的影響.

3.3.方法建構

同角三角函數基本關系、誘導公式、兩角和與差的三角函數、二倍角公式是三角變換的核心內容，復習時應該回歸課本，要深刻理解各個公式的來龍去脈，同時能順用、逆用和變用.注意通性通法.例如化為同角、化為同名函數、化為齊次式、化高次為低次、“1的代換”等等.此外，還要注意利用一些常用的關系和等式，例如sinx+cosx，sinx-cosx，sinxcosx，sin2x，之間的關系，以及輔助角公式asinx+bcosx=■sin（x+?漬）公式的應用.

3.4.知識應用

解三角形和三角函數的綜合應用，重點復習利用正弦定理、余弦定理、面積公式為工具實現邊角互化，要么化成邊，要么化成角.難點是實際應用問題中如何利用正弦定理、余弦定理、面積公式，所以要加強在實際應用問題中建立三角函數模型的題型訓練.

四、精選配套訓練，初現端倪

1.（2011年福建卷）若tan?琢=3，則■的值等于()

A.2 B.3C.4 D.6

2.（2011江蘇卷）函數f（x）=Asin（wx+?漬），（A，w，?漬是常數，A>0，w>0）的部分圖像如圖所示，則f（0）=.

3.（2005年上海卷）在?駐ABC中，若A=120°，AB=5，BC=7，則?駐ABC的面積S=．

4.（2011年浙江卷）若0

Ａ. ■B. -■

C. ■ D. -■

5.（2011年全國Ⅱ卷）△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知A-C=90°，a+c=■b，求C．

6.（2011年全國I卷）△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c.己知asinA+csinC-■asinC=bsinB，（1）求B；（2）若A=75°，b=2，求a與c.

7.（2011年山東卷）在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知■=■.

（1）求■的值；（2）若cosB=■，b=2，求△ABC的面積.

8．（2010年廣東卷）已知函數f（x）=Asin（3x+?漬）（A>0，x∈（－∞+∞），0

9.（2010年安徽卷）設?駐ABC是銳角三角形，a，b，c分別是內角A，B，C所對邊長，并且sin2A=sin（■+B）sin（■-B）+sin2B．(1)求角A的值；(2)若■·■=12，a=2■，求b，c（其中b

限于篇幅，以上訓練題僅給出結果供考生參考：1.D.2.±■.3.■. 4.C.5.C=15°.6.（1）45°；（2）a=■+1，c=■.7.（1）2；（2）■.8. （1）■;（2）

f（x）＝4sin（3x+■）；（3）±■.9.(1)A=■;(2)c=6，b=4.

（作者單位：南雄市第一中學）

責任編校 徐國堅

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