巧用逆向思維解決數(shù)學(xué)問題

【摘要】用逆向思維解決數(shù)學(xué)問題通常有兩種表現(xiàn)形式，即從問題反面入手和由結(jié)論入手。反面入手主要方法是：補(bǔ)集法、反證法、反例否定法；結(jié)論入手主要方法是：分析法和同一法。

所謂逆向思維，就是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點(diǎn)反過來思考的一種思維方式。是用大多數(shù)人沒有想到的思維方式去思考問題、處理問題，以“出奇”而達(dá)到“制勝”。運(yùn)用逆向思維，有利于克服思維定式的保守性，培養(yǎng)創(chuàng)新能力。有些數(shù)學(xué)問題，可以考慮用逆向思維的方法，把問題倒過來想一想，往往能收到意想不到的效果。

一、由反面入手

對于某些數(shù)學(xué)問題，若從正面來看情況復(fù)雜，其反面情況卻比較簡單，不妨從其反面去思考和探索，得出反面結(jié)論，再由反面結(jié)論確定其正面結(jié)論，以使問題得以解決。體現(xiàn)在解題過程中的主要方法是：補(bǔ)集法、反證法和反例否定法。

（一）補(bǔ)集法:借助集合的性質(zhì)，運(yùn)用補(bǔ)集法思想去考慮問題的反面

例１，已知集合Ａ＝｛x∈Ｒ∣ｘ2－４ｍｘ＋２ｍ＋６＝０｝，若Ａ∩（－∞，０）≠φ，求實(shí)數(shù)ｍ的取值范圍。

分析：集合Ａ表示一元二次方程ｘ2－４ｍｘ＋２ｍ＋６＝０的實(shí)根組成的集合，Ａ∩（－∞，０）≠φ說明該方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根，若對ｍ分類討論，則比較麻煩，若考慮其反面，即Ａ∩（－∞，０）＝φ，即該方程沒有負(fù)實(shí)根，則比較容易。

解：設(shè)全集Ｕ＝｛ｍ│△=（-4m）2-4（2m+6）≥0｝=｛m│m≤-1或m≥3/2｝，

設(shè)方程x2-4mx+2m+6=0有兩非負(fù)實(shí)根為x1，x2.由韋達(dá)定理得

x1+x2=-（-4m≥0）

x1x2=2m+6≥0

△=（-4m）2-4（2m+6）≥0

解得：m≥3/2，則｛m│m≥3/2｝關(guān)于集合U的補(bǔ)集｛m│m≤-1｝即為所求。

（二）反證法：對于要證明的命題結(jié)論以“至多”或“至少”形式出現(xiàn)，或唯一性命題，適宜用反證法，其實(shí)質(zhì)是證明命題的逆否命題成立，即“否定的結(jié)論否定的題設(shè)”

例2若a>0，b>0，a3+b3=2，求證：a+b≤2

分析：本題結(jié)論的反面是唯一的，用反證法證明比較容易。

證明：假設(shè)a+b>2，

∵（a+b）2≥4ab，

∴2=a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）=（a+b）［（a+b）2-3ab］≥（a+b）ab>2ab，

則ab<1.又a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）=（a+b）［（a+b）2-3ab］>2（22-3ab）

∵a3+b3=2

∴2>2（4-3ab）則ab>1，前后矛盾，故a+b≤2.成立。

（2）反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即把結(jié)論的反面作為條件，并根據(jù)這個(gè)條件進(jìn)行推證，若只否定結(jié)論而不從結(jié)論的反面進(jìn)行推理，就不是反證法；（3）推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，但必須是明確的。

（三）反例否定法：數(shù)學(xué)史證明，對數(shù)學(xué)中探索的重大課題與數(shù)學(xué)猜想，能舉出反例予以推翻，與給出嚴(yán)格證明予以肯定，是同等重要的。數(shù)學(xué)是培養(yǎng)抽象概括能力、邏輯思維能力、運(yùn)算能力和空間想象能力的重要課程。但是由于其內(nèi)容的高度抽象與概括性、嚴(yán)密的邏輯性、獨(dú)特的“公式語言”、簡練的表達(dá)方式，數(shù)學(xué)常常成為學(xué)習(xí)的第一個(gè)難關(guān)。

例3反函數(shù)與原函數(shù)的圖象交點(diǎn)一定在直線y=x上嗎？學(xué)習(xí)完反函數(shù)后，有這樣一個(gè)重要性質(zhì)：函數(shù)y=f（x）的圖象與其反函數(shù)y=f-1（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱。因此，大部分同學(xué)認(rèn)為：函數(shù)與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)一定在直線y=x上。實(shí)際上，舉一個(gè)簡單的反例即可說明此結(jié)論是錯(cuò)誤的，如y= 的反函數(shù)仍為y= ，兩圖象是重合的，當(dāng)然有無數(shù)多個(gè)交點(diǎn)，而且只有（1，1）、（-1，-1）兩點(diǎn)在直線y=x上，其余均不在此直線上。

二、由結(jié)論入手

（一）分析法：從求證的問題出發(fā)，逐步尋求使問題成立的充分條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的結(jié)論成立，這種解決問題的方法就是分析法。

例4已知a，b∈R，且a+b=1，求證：（a+2）2+（b+2）2≥ .

證明：要證（a+2）2+（b+2）2≥ .即證a2+b2+4（a+b）+8≥

由于b=1-a需證a2+（1-a）2+4+8≥ 即證（a- ）2≥0而上式顯然成立

所以（a+2）2+（b+2）2≥ .成立。

（二）同一法：一個(gè)命題，若它的題設(shè)和結(jié)論所指的事物都是唯一的，那么原命題和它的逆命題中，只要有一個(gè)成立，另一個(gè)就一定成立，這個(gè)原理叫同一法則。在同一法則的前提下，當(dāng)要證明的問題不易證明時(shí)，可以證明它的逆命題成立，這種方法叫同一法。

例5求證：如果兩個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)而垂直第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)。

已知:α⊥β，α∩β=CD，A∈α，AB⊥β。求證：AB α

分析：本題若直接證明不太好表述，由于過一點(diǎn)和一個(gè)平面垂直的直線只有一條，AB具有唯一性，所以證明宜采用反證法和同一法，下面用同一法證明。

證明：在平面α內(nèi)作AE⊥CD，∵α⊥β，α∩β=CD，

∴AE⊥β，而AB⊥β，∴AE與AB重合。

∵AE α，∴AB α。

通過以上的分析和應(yīng)用可以看出，逆向思維在解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，能使你獨(dú)辟蹊徑，在多種解決方法中獲得最佳方法和途徑，使復(fù)雜的問題輕松破解。在平時(shí)的教學(xué)中，教師可適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用這種思維方法。

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