探究性學習在高三復習中的應用

美國心理學家布魯納指出：“探究是數學教學的生命線”。學生通過自己探究獲得的知識要比教師直接灌輸的印象更深刻，學生也能真正享受到自己探究的樂趣。所謂探究性學習即從現實社會生活中選擇和確定研究主題，在教學中，創設一種類似于學術（或科學）研究的情景，通過學生自主獨立的發現問題、實驗、操作、調查、搜集與處理信息、表達與交流等探索活動，獲得知識、技能、情感與態度的發展，特別是探索精神和創新能力發展的學習方式和過程。

復習是一種探究活動，應該理解為它是一種對所學知識的再認識與再發展，是師生雙方共同探索的過程。探究性學習作為改變學習方式的突破口，有利于學生擺脫題海訓練、鞏固知識，提高數學思想和能力。

一、探究錯因，夯實基礎

在教學中有意識地選用一些學生易錯題，進行探究，幫助學生弄清錯誤的根源，提高辨析錯誤能力，查漏補缺，有利于學生夯實基礎知識。

案例1：（2003上海）在P（１，１），Ｑ（１，２），Ｍ（２，３）和N（12，14）四點中，函數y=ax的圖像與其反函數的圖像的共公點只可能是點（）。

A、PB、QC、M D、N

答案應是D，而很多學生給出的答案是A，錯誤的根源是“原函數與其反函數若有公共點，則交點在直線y=x上”。這個結論被很多參考書提及，但它正確嗎？讓學生對這個問題進行探究，學生發現若原函數與反函數有交點，交點可能在y=x上，也可能不在y=x上。

如：1）f（x）= ， （x）= ，圖像有無數個交點，只有二個交點在y=x上；

2）f（x）= ， （x）=-x3，圖像有三個交點分別為（0，0），（1，-1），（-1，1），只有一個交點在y=x上；

3）f（x）= ， （x）=-x5，圖像有兩個交點（-1，1），（1，-1），均不在y=x上。

并得到一些結論：1）當函數f（x）是嚴格單調增函數時，y=f（x）與y= （x）的圖像的交點一定在直線y=x上；2）當函數f（x）是嚴格單調減函數時，y=f（x）與y= （x）的圖像的交點至多有一點在直線y=x上。

案例2：數列｛an｝滿足an＜an+1，an=n2+λn則實數λ的取值范圍是：

A、（ ，+∞）B、（-3，+∞）C、（-2，+∞）D、［-2，+∞）

正確的解法是：∵an=n2+λn，an+1=（n+1）2+λ（n+1）∵an＜an+1 ∵an-an+1＜0恒成立，即λ＞-2n-1恒成立，所以選B。

而學生的一種做法是：∵an＜an+1D∴數列｛an｝單調遞增

設f（n）=n2+λn，則f＇（n）=2n+λ≥0恒成立，所以選D。

那么學生的這種做法有什么錯誤呢。學生經過思考后發現：高中函數求導是在函數在某區間上連續為前提的，而數列是特殊的函數是點列函數其不連續，所以應用前提有誤。對二次函數而言可以使f（n）＜f（n+1），但在區間［n，n+1］上不是單調函數。

二、探究多解，培養思維

數學教學從根本上講是教會學生運用數學思想解決數學問題，為了使學生的思維能力向較高層次發展，應注意培養學生的發散性思維能力。對同一道題，從不同的角度去分析研究，可能會得到不同的啟示，從而引出各種不同的解法，使學生的思維觸角伸向不同的方向，培養學生解題的優化能力。

案例3：如圖，正四棱錐中P-ABCD，AB=2，側棱PA與底面ABCD所成的角為60°，在線段PB上是否存在一點E，使得AE⊥PC？若存在，試確定點E的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由。

解法1：假設存在一點E，使得設AE⊥PC，設BE=x，在平面PBC中，過E作EF∥PC交BC于F，連接AF，

∵在中△BEA中，cos∠EBA=

∴AE2=22+x2-2#8226;2#8226;x#8226; =4+x2- x

∵在△PBC中，由EF∥PC得

∴BF=

∴在△ABF中AF2=22+BF2=4+

∴在△BEF在中，由余弦定理得EF=x

∵在直角中△AEF中，AE2+EF2=AF2，

即4+x2- x+x2=4+ ∴x= 或x=0（舍去）

故存在點E使得此時點E為BP的三等分點。

解法2：如圖建立空間直角坐標系，則，A（0，- ，0），C（0， ，0），P（0，0， ），B（ ，0，0）

假設在PB上存在一點E，使得 ，設點E（x，y，z）

∴ =（x，y，z- ），EP(B=（ -x，-y，-z）

∵（x，y，z- ）=λ（ -x，-y，-z）

∴x= ，y=0，z=

∴ =（ ， ， ）， =（0， ，- ）

∵AE⊥PC∴ #8226; =0

∴2-=0即λ=2

故存在點E使得AE⊥PC此時點E為BP的三等分點。

解法3：如圖建立空間直角坐標系，則，A（0，- ，0），C（0， ，0），P（0，0， ），B（ ，0，0），假設在PB上存在一點E，設 =λ +（1-λ）

∵ =（ ， ，0）， =（0， ， ）， =（0， ，- ）

∴ =（ λ， ， （1-λ））

∵ #8226; =2-6（1-λ）=0

∴λ=

∴ =（ ， ， ）即E（ ，0 ， ）

故存在點E使得AE⊥PC此時點E為BP的三等分點。

解法4：假設在PB上存在一點E，由題意可知△PAC為正三角形，取PC中點F

∴AF⊥PC

∵AE⊥PC，AE∩AF=A

∴PC⊥面AEF ∴PC⊥EF

∵在△PBC，cos∠BPC=

∴ =∴PE= PF=

∵PB= 故存在點E使得AE⊥PC此時點E為BP的三等分點。

其中解法1、2為常規解法，解法1較繁，而解法3巧妙應用共面向量定理比解法2簡潔，解法4充分應用條件中的線面角條件，把異面直線垂直轉化為共面直線問題使解答過程簡單明了。

三、探究規律，觸類旁通

同一類型的數學問題，其求解方法往往有其規律性，解一道題要求學生思考此題是否可作為一般性推廣和引申，使學生解的不是一道題，而是一串、一類題。可使學生掌握規律性，更利于成績的提高。

案例4：在三角形ABC中，B（-2，0），C（2，0），且AB與AC的斜率之積為-2，則頂點A的軌跡為 。

這個簡單的問題我們能否把它變為kAB#8226;kAC=m（m≠0），那么當改變時，又會出現什么結論？

解：設A（x，y），則直線AB的斜率為kAB= ，直線AC的斜率為kAC=

∵kAB#8226;kAC=m（m≠0）即 #8226; =m（m≠0）

∴y2，=m（x2-4）

∴點A的軌跡方程為y2-mx2=-4m（m≠0）

點A的軌跡方程為y2-mx2=-4m（m≠0），我們應知當m取不同值時，表示不同的曲線：

1）當m＞0時，y2-mx2=-4m（m≠0）即為 （y≠0）為焦點在x軸上的雙曲線除去二點；

2）當m＜0（m≠-1）時，方程即 （y≠0）為橢圓除去二點，當m＜-1時焦點在y軸上，當-1＜m＜0時焦點在x軸上；

3）當m=-1時，方程為x2+y2=4為圓除去二點。

案例5：試證以過拋物線焦點的弦為直徑的圓必與拋物線的準線相切。

證完題后，可進一步引導學生分析和思考，把題目中的條件“拋物線”改為“橢圓”或“雙曲線”，結論有何變化？

學生經過論證，可得出與橢圓相離，與雙曲線相交，看似不同的題目證明方法卻都相同，都是根據曲線的定義得證。

四、探究演變，提高能力

教學大綱指出：要重視學生在獲取和利用知識過程中發展思維能力。充分挖掘例、習題的潛在功能，進行變式教學，改變原題的結構或作適當的引申變換，往往可使一道題演變成一串，這樣有利于學生開拓思路，提高應變能力，鍛煉學生思維，并發展學生創造性思維。

案例6：過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點的直線和這條拋物線交于P1，P2兩點，兩個交點的縱坐標分別為y1，y2，求證：y1y2=-p2。

一）條件不變：

1）求證：x1x2= ；

2）求焦點弦P1P2的長；

3）求S△p1p2；

4）求焦點弦p1p2中點的軌跡方程

；5）求證： ；（F為焦點）

6）求證：以焦點弦為直徑的圓必與其準線相切；

二）縱深演變：

1）過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點的直線和這條拋物線交于P1，P2兩點，若 #8226; =-3，求焦點的坐標；

２）過拋物線y2=4px（p＞0）的焦點的直線和這條拋物線交于P1，P2兩點，O為坐標原點，F為焦點，若 =p，=b，求△ABC的面積。

3）給定拋物線C：y2=4x，F為C的焦點，過點F的直線l與C相交于A，B兩點。

①設l的斜率為１，求 與 夾角的大小；

②設 =λ ，若λ∈［4，9］，求l在y軸上的截距的變化范圍。（2004全國）

探究性學習方法是提高數學教學質量的有效途徑，能過探索研究，教給學生再分析，再思考的方法，培養學生多思考的良好習慣，不僅有利于知識的歸納與規律的形成，而且能優化學生的數學認識結構，提高思維能力，促進知識向能力轉化，從而有效提高高三復習教學質量，避免題海訓練，使學生“樂學”“會學”。

【參考文獻】

［1］張明生，關文信.新課程理念與初中數學課堂教學實施［M］.首都師范大學出版社，2003（5）．

［2］秦衛東，母建軍.如何引導學生解題后多思善想［J］.數學教學，2004（9）．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文