殘數(shù)定理與復(fù)變函數(shù)的積分

【摘要】本文討論了殘數(shù)定理與復(fù)變函數(shù)積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，舉例說明了殘數(shù)定理與柯西定理、柯西公式和高階導(dǎo)數(shù)公式之間的密切關(guān)系。

在復(fù)變函數(shù)中，殘數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)論中的重要組成部分，在復(fù)變函數(shù)理論的發(fā)展和應(yīng)用中都有重要意義。作為復(fù)變函數(shù)的積分和復(fù)變函數(shù)的級數(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物，殘數(shù)定理與復(fù)變函數(shù)的積分有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系，理解和掌握它們之間的密切關(guān)系，對學(xué)好復(fù)變函數(shù)論是非常必要的。本文首先證明在不同的條件下，利用殘數(shù)定理可以分別得到復(fù)變函數(shù)積分中的柯西定理、柯西公式和高階導(dǎo)數(shù)公式，然后舉例說明。

一、殘數(shù)定理與復(fù)變函數(shù)積分間的關(guān)系

由殘數(shù)定理:若函數(shù)f（ｚ）在Ｄ內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)bk外解析，則

（1）

其中 是f（ｚ）在bk的無心鄰域0<｜z-bk｜

1.若被積函數(shù)在積分回路Ｌ內(nèi)為解析函數(shù)，則在Ｌ內(nèi)無奇點(diǎn)，故被積函數(shù)的殘數(shù)為零。由殘數(shù)定理（1）式，有

=0 （2）

（2）式即為復(fù)變函數(shù)積分的柯西定理：單通區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)沿閉路的積分為零。

2.若被積函數(shù)在積分回路Ｌ內(nèi)有一階極點(diǎn)，考察積分 ，其中a為積分回路Ｌ的內(nèi)點(diǎn)，則ｚ=ａ是被積函數(shù)的一階極點(diǎn)。由殘數(shù)定理（1）式以及一階極點(diǎn)殘數(shù)的計(jì)算公式，有

=

所以（3）

（3）式即是復(fù)變函數(shù)積分的柯西公式。

3.若被積函數(shù)在積分回路Ｌ內(nèi)有ｎ+1階極點(diǎn)，考察積分 ，其中ａ為積分回路Ｌ的內(nèi)點(diǎn)，則ｚ=ａ是被積函數(shù)的ｎ+1階極點(diǎn)。由殘數(shù)定理（1）式以及ｎ+1階極點(diǎn)殘數(shù)的計(jì)算公式，有

所以 （4）

（4）式為復(fù)變函數(shù)積分的高階導(dǎo)數(shù)公式。

由以上討論可以得出，殘數(shù)定理與復(fù)變函數(shù)積分中的柯西定理、柯西公式和高階導(dǎo)數(shù)公式之間的關(guān)系為:

柯西定理實(shí)際上是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)為解析函數(shù)的殘數(shù)定理;

柯西公式實(shí)際上是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)有一階極點(diǎn)的殘數(shù)定理;

高階導(dǎo)數(shù)公式實(shí)際上是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)有ｎ+1階極點(diǎn)的殘數(shù)定理。理解了殘數(shù)定理與復(fù)變函數(shù)積分中的柯西定理、柯西公式和高階導(dǎo)數(shù)公式之間的內(nèi)在聯(lián)系以后，原來在“復(fù)變函數(shù)的積分”一章中的習(xí)題，現(xiàn)在都可以用殘數(shù)定理來做了。只要掌握了各種情況下殘數(shù)的求法就可以了，而且有時(shí)解題會(huì)顯得更為簡捷。

二、例題

分別用柯西定理或柯西公式或高階導(dǎo)數(shù)公式以及殘數(shù)定理計(jì)算下列積分。

例

解1因?yàn)槭贡环e函數(shù)無意義的點(diǎn)ｚ=3在積分圓域｜ｚ｜=2的外邊，被積函數(shù) 在積分回路內(nèi)為解析函數(shù)。由柯西定理（2）式，

得 =0

解2用殘數(shù)定理求解。因?yàn)楸环e函數(shù)在積分回路｜ｚ｜=2內(nèi)無奇點(diǎn)，故其殘數(shù)為零。由殘數(shù)定理（1）式，

得 =0

通過以上例題可以看出，在計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分時(shí)，殘數(shù)定理與柯西定理、柯西公式和高階導(dǎo)數(shù)公式實(shí)際上是等價(jià)的。然而，殘數(shù)定理卻以簡潔的形式包含了復(fù)變函數(shù)積分的三個(gè)重要的定理和公式。只要能準(zhǔn)確判斷被積函數(shù)的奇點(diǎn)類型，掌握了可去奇點(diǎn)，ｍ階極點(diǎn)以及本性奇點(diǎn)的殘數(shù)的計(jì)算方法，復(fù)變函數(shù)的積分就可以容易地用殘數(shù)定理計(jì)算出來。需要說明的是，殘數(shù)定理的真正應(yīng)用價(jià)值并不僅局限于用來替代復(fù)變函數(shù)積分中的定理和公式，而是將復(fù)變函數(shù)論具體用來計(jì)算一些在實(shí)函數(shù)中未能解決的積分問題。利用殘數(shù)定理和關(guān)于ｍ階極點(diǎn)的殘數(shù)計(jì)算，可以將某些本來是非常復(fù)雜的幾乎無法下手的實(shí)函數(shù)積分，變得極其簡單。這對于研究實(shí)際問題來說是很有實(shí)用價(jià)值的。

【參考文獻(xiàn)】

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［4］鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論［M］.北京：高等教育出版社，1988.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文