粗糙集在教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)中的應(yīng)用

［摘要］ 粗糙集不依賴于數(shù)據(jù)集之外的附加信息，是處理含有噪聲、不精確、不完整數(shù)據(jù)的有力工具，是一種新的數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)。首先，本文介紹了粗糙集理論和決策表約簡(jiǎn)算法，然后采用粗糙集數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)對(duì)多指標(biāo)教學(xué)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)，挖掘出數(shù)據(jù)背后隱含的規(guī)則。

［關(guān)鍵詞］ 粗糙集； 屬性約簡(jiǎn)； 值約簡(jiǎn)； 教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)

doi : 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2011 . 22. 049

［中圖分類(lèi)號(hào)］G642 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］A ［文章編號(hào)］1673 - 0194（2011）22- 0086- 02

0引言

粗糙集理論是１９８２年由波蘭科學(xué)家Ｐａｗｌａｋ提出的一種新型的處理模糊和不確定知識(shí)的數(shù)學(xué)工具［１］。經(jīng)典粗糙集的理論基礎(chǔ)是不可分辨關(guān)系，將分類(lèi)理解為在特定空間上的等價(jià)關(guān)系。粗糙集的精髓是屬性約簡(jiǎn)，在保持知識(shí)庫(kù)分類(lèi)能力完全不變的條件下，刪除其中不相關(guān)或不重要的屬性。

１粗糙集理論的基本概念

１．１信息系統(tǒng)的定義

用四元組Ｓ ＝ （Ｕ，Ａ，Ｖ，ｆ）表示一個(gè)信息系統(tǒng)，其中，Ｕ表示一組對(duì)象的非空有限集合，稱(chēng)為論域。Ａ表示屬性的非空有限集合，Ａ ＝ ＣIDIDII，其中Ｃ為條件屬性，Ｄ為決策屬性。Ｖ表示屬性ａ的值域。信息函數(shù)ｆ：U × AIV為對(duì)象的屬性到其值的映射。這種知識(shí)表達(dá)系統(tǒng)也稱(chēng)作決策表。如果有相同條件屬性的對(duì)象其決策屬性也相同，則稱(chēng)為相容決策表，否則稱(chēng)為不相容決策表。

１．２等價(jià)類(lèi)的定義

若Ｒ是非空集合Ａ上的等價(jià)關(guān)系，則Ａ上互相等價(jià)的元素構(gòu)成Ａ的若干個(gè)子集，就是等價(jià)類(lèi)。如Ａ ＝ ｛ １， ２， … ， ８ ｝上模 ３ 等價(jià)關(guān)系的等價(jià)類(lèi)：［１］ ＝ ［４］ ＝ ［７］ ＝ ｛１，４，７｝，［２］ ＝ ［５］ ＝ ［８］ ＝ ｛２，５，８｝，［３］ ＝ ［６］ ＝ ｛３，６｝。

１．３近似集的定義，Ｘ的下近似

Ｒ*（Ｘ） ＝ ｛ｘ：（ｘ∈Ｕ）∧（［ｘ］Ｒ?哿Ｘ ）｝，Ｘ的上近似：Ｒ*（Ｘ）＝｛ｘ：（ｘ∈Ｕ）∧（［ｘ］Ｒ∩X≠?準(zhǔn)）｝。下近似包含了所有使用知識(shí)Ｒ可確切分類(lèi)到Ｘ的元素，上近似則包含了所有那些可能是屬于Ｘ的元素。表1為感冒及其影響因素的決策表。

Ｒ ＝ ｛頭疼，體溫｝

Ｕ／Ｒ＝ ｛｛Ｘ１｝，｛Ｘ2｝，｛Ｘ3｝，｛Ｘ4｝，｛Ｘ5，Ｘ7｝，｛Ｘ6，Ｘ8｝，Ｘ１ ＝ ｛ｕ ｜ 感冒 ＝ ｙｅｓ｝ ＝ ｛Ｘ2，Ｘ3，Ｘ6，Ｘ7｝，圖１表示Ｘ１的上近似與下近似。

２一致決策表的約簡(jiǎn)

在對(duì)決策表進(jìn)行約簡(jiǎn)前，要將不一致的決策表轉(zhuǎn)化成一致的。基于粗糙集理論的知識(shí)發(fā)現(xiàn)，主要是保證約簡(jiǎn)后的決策表與約簡(jiǎn)前的決策表具有相同的功能，包括屬性約簡(jiǎn)和值約簡(jiǎn)。

２．１屬性約簡(jiǎn)

粗糙集理論研究的主要內(nèi)容之一就是屬性約簡(jiǎn)，在數(shù)據(jù)庫(kù)中，條件屬性對(duì)于決策屬性的重要性是不相同的，甚至有些屬性是多余的，大量不相關(guān)屬性的存在增大了數(shù)據(jù)挖掘的難度，使分類(lèi)的準(zhǔn)確率降低。常見(jiàn)的屬性約簡(jiǎn)算法有以下兩種。

2.1.１直接求核集算法

輸入：相容決策表ＤＴ ＝ ＜Ｕ，Ａ，Ｖ，ｆ＞，Ａ＝Ｃ∪Ｄ是屬性集合；

輸出：約簡(jiǎn)的屬性集。

步驟

Sｔｅｐ １對(duì)每一條屬性ai∈C，計(jì)算ＰＯＳ｛ｃ－｛ａｉ｝｝（Ｄ）。

Sｔｅｐ ２如果ＰＯＳ｛ｃ－｛ａｉ｝｝（Ｄ）＝ ＰＯＳｃ（Ｄ），則稱(chēng)屬性ａｉ在Ｃ中是關(guān)于Ｄ可省的，可以從決策表中刪除。

Sｔｅｐ ３否則稱(chēng)屬性ａｉ在中Ｃ中是關(guān)于Ｄ不可省的，應(yīng)該保留。

Sｔｅｐ ４重復(fù)前三步，直到屬性集合不在發(fā)生變化，終止算法。

該算法有很大的局限性，起搜索空間和時(shí)間的代價(jià)都很大，不利于有過(guò)多個(gè)屬性的決策表的約簡(jiǎn)。

2.1.２基于差別矩陣的求核約簡(jiǎn)算法

令Ｓ＝（Ｕ， Ａ， Ｖ， ｆ）為一信息系統(tǒng)，Ａ ＝ Ｃ∪Ｄ，論域Ｕ中元素的個(gè)數(shù) | Ｕ | ＝ ｎ，| Ｃ | ＝ ｍ，Ｓ的分辨矩陣Ｍ定義為一個(gè)ｎ階對(duì)稱(chēng)矩陣，其ｉ行ｊ列處元素定義為：

mij｛ak | ak∈C∧ak（xi） ≠ ak（xj）｝， d（xi） ≠ d（xj）0，d（xi） ≠ d（xj）?準(zhǔn)，ak（xi） = ak（xj），d（xi） ≠ d（xj）

即ｍｉｊ是能夠區(qū)別對(duì)象ｘｉ和ｘｊ的所有屬性的集合。當(dāng)兩個(gè)樣本的決策屬性取同時(shí)，對(duì)象值為０；當(dāng)兩個(gè)樣本的決策屬性不同且可以通過(guò)某些條件屬性的取值加以區(qū)分時(shí)，對(duì)象值為這兩個(gè)樣本屬性值不同的條件屬性集合。

可辨識(shí)矩陣屬性約簡(jiǎn)算法：

輸入：相容決策表ＤＴ ＝ ＜Ｕ，Ａ，Ｖ，ｆ ＞，Ａ ＝ Ｃ∪Ｄ是屬性集合；

輸出：約簡(jiǎn)的屬性集。

步驟：

Ｓｔｅｐ １計(jì)算決策表的可辨識(shí)矩陣ＭＤ；

Ｓｔｅｐ ２對(duì)于可辨識(shí)矩陣中所有取值為非空集合的對(duì)象Ｍｉｊ，建立相應(yīng)的析取邏輯表達(dá)式Ｔｉｊ。

Ｓｔｅｐ ３將所有的析取邏輯表達(dá)式Ｔｉｊ進(jìn)行合取運(yùn)算，得到一個(gè)合取范式Ｔ。

Ｓｔｅｐ ４將合取范式Ｔ轉(zhuǎn)換為析取范式的形式。

Ｓｔｅｐ ５輸出屬性約簡(jiǎn)結(jié)果。

基于可辨識(shí)矩陣和邏輯運(yùn)算的屬性約簡(jiǎn)算法可以得到?jīng)Q策表的所有可能的屬性約簡(jiǎn)結(jié)果，它實(shí)際上是將對(duì)屬性組合情況的搜索演變成為邏輯公式的簡(jiǎn)化。

２．２值約簡(jiǎn)

在判斷某個(gè)對(duì)象屬于某類(lèi)時(shí)，其屬性的取值不同，對(duì)分類(lèi)產(chǎn)生的影響也不同。例如，判斷一個(gè)人的飯量（大、中、小）時(shí)，每頓飯的食量是主要屬性。但若食量屬性值為３時(shí)（即每頓飯吃3個(gè)饅頭），此人的飯量要結(jié)合其年齡、性別等屬性才能確定。如果食量屬性值為８時(shí)，幾乎可以確定此人飯量很大，這時(shí)年齡、性別屬性已不重要。對(duì)于決策表而言，屬性值的約簡(jiǎn)就是決策規(guī)則的約簡(jiǎn)。

３基于粗糙集的教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)

３．１教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)管理的內(nèi)容要求

教學(xué)工作是有目標(biāo)的系統(tǒng)工程，只有建立科學(xué)合理的評(píng)價(jià)體系，準(zhǔn)確地對(duì)教師的教學(xué)水平進(jìn)行評(píng)價(jià)，才能有針對(duì)性地加強(qiáng)對(duì)個(gè)別教師的督促。本文主要討論對(duì)教師教學(xué)質(zhì)量的評(píng)價(jià)，有以下4個(gè)指標(biāo)。

（1） 平均成績(jī)：假設(shè)每位數(shù)學(xué)老師教兩個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)５０名學(xué)生，則計(jì)算這１００名學(xué)生的平均成績(jī)，進(jìn)行老師間橫向比較。

（2） 優(yōu)秀人數(shù)：對(duì)照優(yōu)秀標(biāo)準(zhǔn)，按班級(jí)優(yōu)秀人數(shù)測(cè)算優(yōu)秀率。若優(yōu)秀率在３０％以上，則認(rèn)為優(yōu)秀人數(shù)多；否則認(rèn)為優(yōu)秀人數(shù)少。

（3） 及格人數(shù)：測(cè)定樣本的及格率，若及格率在７０％以上，則認(rèn)為及格人數(shù)多；否則認(rèn)為及格人數(shù)少。

（4） 抽測(cè)成績(jī)：在１００名學(xué)生中隨機(jī)抽取１０名學(xué)生，若５個(gè)以上的學(xué)生在８５分以上，則認(rèn)為抽取成績(jī)高；否則認(rèn)為抽取成績(jī)低。

３．２粗糙集的應(yīng)用

表2為一個(gè)數(shù)據(jù)記錄表，通過(guò)測(cè)定平均成績(jī)，及格人數(shù)，優(yōu)秀人數(shù)和抽取成績(jī)來(lái)判斷6位老師的教學(xué)水平。

其中，條件屬性集為｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝，決策屬性集為｛ｅ｝。屬性及屬性值的含義為：

平均成績(jī)ａ，５０～６０——０，６０～７０——１，７０～８０——２；及格人數(shù)ｂ，７０％以上——１，７０％以下——０；優(yōu)秀人數(shù)ｃ， ３０％以上——１，３０％以下——０；抽取成績(jī)ｄ，５０％在８５分以上——１，其補(bǔ)集——０；教學(xué)水平ｅ，好——１，不好——０。

首先，用分辨矩陣直接求核集。教學(xué)評(píng)價(jià)決策表所示是一個(gè)知識(shí)系統(tǒng)，Ｕ ＝ ｛Ｕ１，Ｕ１，…，Ｕn｝是論域，Ｃ ＝ ｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝是條件屬性集，Ｄ ＝ ｛ｅ｝是決策屬性集，Ｐ ＝ Ｃ ＋ Ｄ。則其相應(yīng)的分辨矩陣為：

D = cdacdabcdabdabcda ababcab ababcb caac

其次，從分辨矩陣中可以得出，由于Ｄ ＝ ｛ｅ｝是決策集，不需要約簡(jiǎn)，約簡(jiǎn)的是條件集合Ｃ，根據(jù)差別矩陣的求核約簡(jiǎn)算法求出該知識(shí)系統(tǒng)的核集為｛ａ，ｂ，ｃ｝。該約簡(jiǎn)求核集的方法可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。本實(shí)例比較簡(jiǎn)單，也可以用直接求核集算法。經(jīng)約簡(jiǎn)后的決策表（見(jiàn)表3）。

再次，約簡(jiǎn)值，對(duì)于決策規(guī)則１，［１］ａ＝｛１，２｝， ［１］ｂ ＝｛１，２，３｝， ［１］ｃ＝｛１，５｝， ［１］ｅ＝｛１，２｝，其中：［１］ａ∩［１］ｂ＝｛１，２ ｝∩ ｛１，２，３｝＝｛１，２｝［１］ｅ，則ｃ０（表示ｃ屬性值為０）可約；［１］ａ∩［１］ｃ＝｛１，２｝∩｛１，５｝＝｛１｝［１］ｅ，則ｂ０可約；［１］ｂ∩［１］ｃ ＝ ｛１，２，３ ｝∩｛１，５｝＝｛１｝［１］ｅ，則ａ０可約；對(duì)于決策規(guī)則２，［２］ａ ＝ ｛１，２｝， ［２］ｂ ＝ ｛１，２，３｝，［２］ｃ ＝ ｛２，３，４，６｝，［２］ｅ ＝ ｛１，２｝。其中：［２］ａ∩［２］ｂ ＝ ｛１，２｝∩｛１，２，３｝ ＝ ｛１，２｝ ［２］ｅ，則ｃ１是可約的；［２］ａ∩［２］ｃ ＝ ｛１，２｝∩｛２，３，４，６｝ ＝ ｛２｝［２］ｅ，則ｂ０是可約的；［２］ｂ∩［２］ｃ ＝ ｛１，２，３｝∩｛２，３，４，６｝ ＝ ｛２，３｝［２］ｅ，則ａ０不可約；其邏輯語(yǔ)義表示為：ａ０ｂ０Ｖａ０ｃ１ｅ０。同理，決策規(guī)則３推出：ａ１不可約，ｂ０可約，ｃ１不可約，其邏輯語(yǔ)義為： ａ１ｃ１Ｖａ１ｂ０ｃ１ｅ１． 決策規(guī)則４推出：ａ１，ｂ１，ｃ１均可約；決策規(guī)則５推出：ａ２，ｂ１，ｃ０均可約；決策規(guī)則６推出：ａ１，ｂ１，ｃ１均可約。經(jīng)過(guò)上述約簡(jiǎn)得到了最小決策算法，它的邏輯語(yǔ)義為：ａ０ｂ０Ｖａ０ｃ１－ｅ０和ａ１ｃ１Ｖａ１ｂ０ｃ１－ｅ１。用自然語(yǔ)言表示為：若平均成績(jī)５０～６０且及格人數(shù)在７０％以下或者平均成績(jī)５０～６０且優(yōu)秀人數(shù)在３０％以下的老師被認(rèn)為教學(xué)質(zhì)量不好；若平均成績(jī)?cè)冢叮啊罚扒覂?yōu)秀人數(shù)在３０％以上或者平均成績(jī)６０～７０且及格人數(shù)在７０％以下且優(yōu)秀人數(shù)在３０％以上的老師被認(rèn)為教學(xué)質(zhì)量好。

4結(jié)束語(yǔ)

粗糙集的生命力在于有較強(qiáng)的實(shí)用性，不需要附加信息和先驗(yàn)知識(shí)，使評(píng)價(jià)結(jié)果更加客觀公正。本文主要論述了粗糙集的理論知識(shí)和基于粗糙集的決策表約簡(jiǎn)算法，分析了評(píng)價(jià)教師教學(xué)水平的指標(biāo)，在此基礎(chǔ)上提出了4個(gè)成績(jī)指標(biāo)，并就基于粗糙集的數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)在教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)中的應(yīng)用進(jìn)行了簡(jiǎn)單的探討。

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