分式中的典型題評析

【摘要】 分式是初中數(shù)學(xué)的一個重要知識點(diǎn)，也是中考的?？键c(diǎn). 它的題型豐富，解法靈活多變，而知識點(diǎn)又比較瑣碎，一些技巧較強(qiáng)的題目由于分式的結(jié)構(gòu)及條件特殊性，往往不能依靠常規(guī)方法去解決，需要適當(dāng)利用一些解題技巧.

【關(guān)鍵詞】 分式；運(yùn)算；典型題

1. 分式有意義及分式的值為０的問題

分式的值等于０，既與分子的值等于０有關(guān)，又與分母的值是否等于０有關(guān). 由于分母等于０時，分式無意義，所以只能在分母不等于０的前提下，才可考慮分式的值等于０的問題. 因此，分式的值等于０的條件是：（１）分子等于０；（２）分母不等于０．

例 已知，當(dāng)ｘ取何值時，分式有意義？當(dāng)ｘ取什么值時，分式的值為０？

分析 分式有意義的條件是分母不為０，由此可求出ｘ的值；分式的值為０的條件是分子等于０，而分母不為０．

解 由ｘ ＋ ３ ≠ ０，得ｘ ≠ －３．所以，當(dāng)ｘ ≠ ３時，分式有意義．

由｜ｘ｜ － ３ ＝ ０，ｘ ＋ ３ ≠ ０，得ｘ ＝ ３．

所以，當(dāng)ｘ ＝ ３時，分式的值為０．

２. 分式的通分問題

通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，通分的關(guān)鍵是確定最簡公分母．分式的通分主要由以下３ 種方法確定：

（１）最簡公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（２）最簡公分母的字母，取各分母所有字母的最高次冪的積；（３）如果分母是多項式，則首先對多項式進(jìn)行因式分解．

例 將下列分式通分：，.

分析 各分母中系數(shù)２，３的最小公倍數(shù)是６，分母中各字母因式的最高次冪是ｘ２ 和ｙ，所以最簡公分母是６ｘ２ｙ.

解 因為最簡公分母是6x2y，

所以， == ， ==.

３. 分式的約分問題

與分?jǐn)?shù)的約分類似，利用分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分母中相同的因式約去的過程叫做分式的約分．約分不改變分式的值．

（１）當(dāng)分式的分子、分母都是單項式時，可直接約去公因式；（２）當(dāng)分式的分子、分母中有多項式時，要首先把多項式因式分解，然后約去分子和分母的公因式．

例== ，

== .

４. 巧用倒數(shù)法解題

對于某些分式問題，根據(jù)分式的結(jié)構(gòu)特征，采用取倒數(shù)的方法求解，往往具有簡潔明快的特點(diǎn).

例 若 = 7，求的值.

解 因為x ≠ 0，所以 = ，所以x +- 1=即x += . 所以 = x2 ++ 1 = （x + ）2 - 2 + 1，將x += 代入上式，則 = （x + ）2 - 1 = （）2 - 1 = ，所以 = ，故 = .

分析 對于有條件的分式求值問題，既要根據(jù)目標(biāo)變換條件，又要根據(jù)條件調(diào)整目標(biāo)，并適當(dāng)利用技巧，達(dá)到解決問題的目的.

５. 分式方程的增根問題

解分式方程時，方程的變形可能會產(chǎn)生使原方程分母為０的根，即增根．因此， 解分式方程必須檢驗，舍去增加后的根，才是分式方程的解（ 或根） ．可化為一元一次方程的分式方程，一般是通過去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程， 若轉(zhuǎn)化后的整式方程的根，是分式方程的增根，此時，分式方程無解．但分式方程無解，并不完全是由于產(chǎn)生增根所致，它有以下兩種可能：（１）去分母得到的整式方程的根是分式方程的增根； （２）去分母得到的整式方程無解．

分式方程有增根，則增根是原分式方程變形后所得整式方程的根，但不是原分式方程的根，即這個根使最簡公分母為０．

例 已知方程2 -= 有增根， 則此方程的增根是.

分析 此方程有增根，增根可能是ｘ ＝ ２或－２，是不是２、－２都是增根呢？ 于是，根據(jù)解分式方程時，方程的變形可能會產(chǎn)生使原方程分母為０的根想到，增根不是分式方程的根，但一定是變形后的整式方程的根，將這兩個可能出現(xiàn)的增根分別代入到變形后的整式方程中去，看它們是不是整式方程的根．

解 分式方程可能產(chǎn)生的增根是ｘ ＝ ２或－２．而原分式方程去分母，得２（ｘ２ － ４） － ｋ（ｘ ＋ ２） = 1，即當(dāng)ｘ ＝ ２時，有－ｋ（２ ＋ ２） ＝ １，得ｋ ＝ -， 即ｘ ＝ ２是變形后的整式方程當(dāng)ｋ ＝ -時的根， 所以分式方程有增根ｘ ＝ ２；當(dāng)ｘ ＝ －２時，有－ｋ（－２ ＋ ２） ＝ １，此方程無解，即ｋ無論取何值，變形后的整式方程都不可能有ｘ ＝ －２這個根，也就是原分式方程不可能產(chǎn)生增根ｘ ＝ －２．所以此方程的增根是２．

評注：解答此題，應(yīng)防止由表面現(xiàn)象２、－２都能使分式方程的最簡公分母為０，而直接填２或－２．

６. 分式的基本性質(zhì)的應(yīng)用

例 已知： += 5，求的值.

分析 首先應(yīng)排除一種錯誤的想法，即若試圖從已知條件中求出ｘ以及ｙ的具體值，然后代入求值的分式，顯然是行不通的．那么如何求值呢？待求的分式也不能化簡，所以應(yīng)該著眼于尋求已知與未知之間的“橋梁”即共同點(diǎn)，這就需要利用分式的基本性質(zhì)把已知條件變形或?qū)⒋笫阶冃危谜w代入法求值．

解 解法１：由已知得ｘ ≠ ０，ｙ ≠ ０，故在等式兩邊同乘以ｘｙ，得ｘ ＋ ｙ ＝ ５ｘｙ，故＝＝＝＝ １．

解法２：因為ｘｙ ≠ ０，將待求式的分子、分母同時除以ｘｙ，得 ==

== 1.

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