幫助學生提高平面幾何的解題能力的探討

在初中數學中，學生對平面幾何的學習及理解仍然是教學難題之一，很多學生遇到平面幾何不知道該如何解題，如何作輔助線，在傳統教學中，教師往往是將知識傳授給了學生之后，給學生布置作業讓學生進行練習，很多學生面對作業不知道該如何解題、作輔助線，本文主要針對教師應該如何在教會學生幾何的解題方法、提高學生的解題能力進行了探討，以下是關于幫助學生提高平面幾何解題能力的幾種途徑：

１. 認真審題，找準解題關鍵

教會學生數學知識以后，下一步就是教學生如何解題，通過做練習鞏固所學的數學知識. 認真審題是解題的第一步，教師要教會學生認真審題，通過分析題目給出的已知條件，理清思路、運用正確的方法進行解題，如果學生沒有認真審題很容易造成誤解題意，全盤皆錯的慘狀.

例１ 如下圖ＡＢ ＝ ＤＣ，ＡＣ ＝ ＤＢ．求證：∠Ａ ＝ ∠Ｄ .

這是一道證明三角形全等的題目，重在考查學生對圖形的觀察、分析能力以及針對已知條件綜合應用的能力. 學生看到這道題目后首先想到的是通過圖形去證明△ＡＯC與△DＯB全等，這就落到出題者設置的陷阱中了. 教師應該提醒學生考慮題目給出的兩個已知條件：ＡＢ ＝ ＤＣ，ＡＣ ＝ ＤＢ這樣就避免陷入看圖解題的誤區，通過添加輔助線連接ＢＣ，或者連接ＡＤ，很容易就能發現圖形中隱藏的條件，構造出了兩個全等三角形，從而作出證明. 兩種輔助線的做法中，連接ＢＣ的方法使得證明過程更為簡捷. 通過這道例題的證明可以充分說明審題的重要性，沒有審好題就容易把簡單的問題復雜化.

２. 巧妙轉化求解法

數學是一門培養學生觀察能力、靈活思考能力的學科，在進行數學解題時，學生不僅要善于審題，挖掘題目中給出的已知條件找到問題的突破口進行解答，而且要充分利用數學知識之間的緊密聯系，將已知條件進行適當的轉化，轉化成有利于自己解題的條件.

例２ 設ａ為等邊三角形ＡＢＣ的邊長，Ｅ，Ｆ分別為ＡＣ，ＡＢ上的點，且滿足ＡＥ ＋ ＡＦ ＝ ａ，ＢＥ與ＣＦ交于點Ｐ，求證：ＢＰ·ＢＥ ＋ ＣＰ·ＣＦ恒為一定值．

解析 通過對題目條件和圖形的分析，可以設點Ｅ和點Ｃ重合，那么點Ｆ與點Ｂ重合，所以點Ｐ與點Ｃ重合，ＢＰ ＝ ａ，ＢＥ ＝ ａ，ＣＰ ＝ ０，ＣＦ ＝ ａ，于是ＢＰ·ＢＥ ＋ ＣＰ·ＣＦ ＝ ａ２．

證明 易證△ＡＣＦ ≌ △ＢＣＥ，∴∠２ ＝ ∠３．

∵ ∠ＢＰＦ ＝ ∠１ ＋ ∠３，∴ ∠ＢＰＦ ＝ ∠２ ＋ ∠３ ＝ ６０°．

∵ ∠Ａ ＝ ６０°，∴ ∠Ａ ＝ ∠ＢＰＦ．

∴ Ａ，Ｆ，Ｐ，Ｅ四點共圓，

∴ ＢＰ·ＢＥ ＝ ＢＦ·ＡＢ，ＣＰ·ＣＦ ＝ ＣＥ·ＡＣ．

又∵ ＡＢ ＝ ＡＣ，

故ＢＰ·ＢＥ ＋ ＣＰ·ＣＦ ＝ ＡＢ２ ＝ ａ２（定值）

在這道題中將題中的變動元素轉化為特殊位置加以利用， 很快就證明出了幾何定值.

３. 反思解題方法

當一個數學問題解答完畢以后，教師應當引導學生針對解題步驟進行檢查，看看解題方法是否合理、步驟是否清晰、論據有沒有缺失，推理是否符合邏輯條理，通過對解題過程的檢查、驗證和反思可以幫助學生養成良好的解題習慣，在多種解題方法的鍛煉中培養敏銳的觀察能力，從而更多的掌握好解題技巧.

例3 命題１，（圖１），ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ為⊙Ｏ切線且ＡＢ∥ＣＤ，ＥＦ分別交ＡＢ，ＣＤ于Ｅ，Ｆ兩點，求證：∠ＥＯＦ ＝ ９０°.

針對這道題，學生之間產生了以下幾種不同證法：

方法一 運用切線長定理，（圖２）：很容易證出∠１ ＝ ∠２ ＝ ∠３ ＝ ∠４；而ＡＢ∥ＣＤ ，所以２（∠１ ＋ ∠３） ＝ １８０°故而得出：∠１ ＋ ∠３ ＝ ９０°最終證得：∠ＥＯＦ ＝ ９０°.

證法二 構造一個等腰三角形，（圖３）：延長ＥＯ交ＣＤ于Ｇ，可證ＦＥ ＝ ＦＧ，而∠α ＝ ∠β，故∠ＥＯＦ ＝ ９０°.

證法三 構造出一個菱形，（圖４）分別延長ＥＯ，ＦＯ交ＣＤ，ＡＢ于Ｇ，Ｍ點，可證四邊形ＥＦＧＭ是一個菱形，所以∠ＥＯＦ ＝ ９０°.

證法四 構造出一個直角三角形，（圖５），設ＡＢ、ＣＤ與⊙Ｏ的切點為Ｇ，Ｈ，連接ＧＨ，過Ｅ作ＥＭ⊥ＣＤ于Ｍ，易證ＥＭ ＝ ＧＨ；可證ＯＥ２ ＋ ＯＦ２ ＝ ＥＦ２，故∠ＥＯＦ ＝ ９０°.

通過對以上幾種證明方式的比較，證法一證明過程較為基本簡單. 證法二、三、四的證明過程相當新穎，說明學生在做題時認真思考，突破了舊有的思維定式，實現了發散性思維的擴展，想出的解題方法具有一定的創造性.

４. 小 結

總之，以上就是對初中平面幾何解題的思路及方法的探討，教師要在初中數學課堂教學中運用多種方法，培養學生學習數學的興趣，樹立學好數學的信心，進而在熟練掌握數學知識前提下，能夠靈活運用數學方法進行解題，在不斷的聯系中，師生的共同探索中，逐步形成良好的解題能力，提高學生的數學綜合水平.

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