第一換元積分法的技巧

摘 要:第一換元積分法是不定積分教學中的重點和難點。文中從基本初等函數著手，探討了第一換元積分法的常用解題技巧。

關鍵詞:基本初等函數第一換元積分被積表達式

中圖分類號:0172文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)08(c)-0136-01

The Skill For The First Integral Method

Zhao Xiuju

(Department of Mathematics and Computer Science Xiang Fan university， Xiang Yang，441053)

Abstract:Member permutation the first integral is the key and difficult part in teaching the indefinite integral.This article，based on the basic elementary function，discusses the skill for solving the first integral method.

Key words:Basic elementary function;The first integral method;Integral expression

第一換元積分法(也稱湊微分法)是最基本的積分方法，是基本思想就是數學中的化歸思想——化難為易、化繁為簡。由于被積函數的復雜性、多樣性，換元的技巧性強，靈活性大，因此同學們在具體使用時不知如何換元。本文就從基本初等函數著手探討第一換元積分法的解題技巧，此方法可以使初學者更快、更好地理解和掌握第一換元積分法。

1 基本理論

1.1 基本初等函數

基本積分表給出的都是基本初等函數的積分運算，因此要想利用積分表，必須首先將被積函數變形成基本初等函數的形式。為此，先介紹基本初等函數:

1)冪函數:;

2)指數函數:;

3)對數函數:;

4)三角函數:如等;

5)反三角函數:等。

在上面的五類基本初等函數中只能具備這樣的形式，不能是經過有限次四則運算或有限次復合運算之后的形式，否則就是初等函數了。

1.2 第一換元積分法依據的主要定理

定理1[1]設具有原函數，可導，則有換元積分公式

從定理可知，利用第一換元積分法進行計算時，第一步:找到中間變量(內層函數)，換元將被積函數變形成基本初等函數;第二步:利用基本積分公式進行求解。在這兩步中，第一步是關鍵，也是難點。本文結合基本初等函數的類型，通過例題，總結技巧和規律，突破難點。

2 基本技巧

這部分主要從上面基本初等函數中的變化找到被積函數中復合函數的內層函數，然后進行換元求解。

2.1 被積函數中復合函數為冪函數

例1.求

分析:對照上面的基本初等函數——冪函數，我們發現由變為，即由變為，可設即可求出解。

解:設

原式=

2.2 被積函數中復合函數為指數函數

例2.求

分析:對照上面的基本初等函數——指數函數，我們發現由變為，即由變為，可設即可求出解。

解:設

原式=

2.3 被積函數中復合函數為對數函數

例3:

分析:對照上面的基本初等函數——對數函數，我們發現由變為，即由變為，可設即可求出解。

解:設

原式=

2.4 被積函數中復合函數為三角函數

例4:

分析:對照上面的基本初等函數——三角函數，我們發現由變為，即由變為，可設即可求出解。

解:原式=

2.5 被積函數中復合函數為三角函數

例5:

分析:對照上面的基本初等函數——反三角函數，我們發現由變為，即由變為，可設即可求出解。

解:原式=

=

=

上述例題依托基本初等函數，條理清楚，學生只需觀察被積函數中復合函數為哪類基本初等函數，然后對照的變化即可得到換元函數。學生平時學習中要多做題熟悉公式，還應注意多總結規律性的技巧以幫助更好的理解和掌握題目。

3 結語

總之，在利用第一換元積分法時，應著眼于基本初等函數中的變化，從而進行換元。另外對這種方法的理解也應該是在不斷練習總結的過程中得以體會。注意此方法對有些題目也不太適用，還需要學生在掌握此技巧的基礎上靈活換元。只有在基本類型比較熟練的時候才能達到舉一反三的效果。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.高等數學[M].高等教育出版社，2010:194～199.