由畢奧-薩伐爾定律推證空心環(huán)形電感的磁場

摘 要:根據(jù)畢奧-薩伐爾定律推證了空心環(huán)形電感器件磁場的大小及方向，與安培環(huán)路定理的結(jié)論相吻合，從而驗(yàn)證了結(jié)論的正確性。

關(guān)鍵詞:空心環(huán)形電感器件畢奧-薩伐爾定律電流元

中圖分類號:O441文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1674-098X(2011)08(c)-0137-01

1 引言

環(huán)形電感的實(shí)際應(yīng)用非常廣泛，但對其磁場的敘述在常用的電磁學(xué)[1-3]及普通物理[4，5]教材中的論述還不夠充分。本文根據(jù)畢奧-薩伐爾定律推證了空心環(huán)形電感器件磁場的大小及方向。與安培環(huán)路定理的結(jié)論相吻合，從而驗(yàn)證了結(jié)論的正確性。

2 排列成圓周的電流元的磁場

2.1 電流元為徑向的情況

空心環(huán)形電感器件坐標(biāo)系示意圖如圖1所示，設(shè)徑向電流元均勻地排列在半徑為r的圓周上。電流元的坐標(biāo)位置為。在xoz平面上取一個觀察點(diǎn)。電流元到觀察點(diǎn)的向徑為:

(1)

按照畢奧-薩伐爾-拉普拉斯定律，該電流元在觀察點(diǎn)產(chǎn)生的磁場為

(2)

根據(jù)對稱性，在坐標(biāo)位置為處，存在一個對稱的電流元。

此對稱電流元到觀察點(diǎn)的向徑長度也等于R，在觀察點(diǎn)產(chǎn)生的磁場為

(3)

兩者之和為

(4)

由(4)式可知:因?yàn)榕帕谐蓤A周的徑向電流元具有對稱性，在觀察點(diǎn)處的磁場只有垂直于xoz平面方向的分量。如從觀察點(diǎn)作一條與z軸垂直并相交的直線，觀察點(diǎn)處的磁場與這條直線相垂直。由于觀察點(diǎn)是任意選取的，所以實(shí)際上此結(jié)論對任一觀察點(diǎn)均成立。這樣，就可以得到結(jié)論:排列成圓周的徑向電流元在空間產(chǎn)生的磁場的磁場線均是一些以z軸為對稱軸的同心圓。

2.2 電流元為z軸方向時的情況

在此種情況下坐標(biāo)位置為的電流元為，該電流元在觀察點(diǎn)產(chǎn)生的磁場為:

(5)

由于對稱性，在坐標(biāo)位置為處，存在一個對稱的電流元。

此對稱電流元在觀察點(diǎn)產(chǎn)生的磁場為

(6)

兩者之和為:

(7)

由(7)式知:因排列成圓周的z軸方向電流元的對稱性，在觀察點(diǎn)處的磁場也只有垂直于xoz平面方向的分量。同理，排列成圓周的z軸方向電流元在空間產(chǎn)生的磁場的磁場線也是一些以z軸為對稱軸的同心圓。

3 環(huán)形電感面電流的磁場

根據(jù)上述結(jié)論，便可以求得空心環(huán)形電感面電流的磁場。環(huán)形電感面電流可以看作是由一系列排列成圓周的電流元(徑向的及z軸方向的)組合而成的。因此其面電流在空間產(chǎn)生的磁場的磁力線均是一些以z軸為對稱軸的同心圓。再利用安培環(huán)路定理[3]，就可知在環(huán)形電感面電流所包圍的空間內(nèi)部，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為:

(8)

r為觀察點(diǎn)到z軸的距離，I為面電流的總和。也就是說磁感應(yīng)強(qiáng)度與一根長直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場相同。在環(huán)形電感面電流所包圍的空間之外，則磁感應(yīng)強(qiáng)度為0，因此這是一種無定向的結(jié)構(gòu)，具有良好的抗干擾性。

參考文獻(xiàn)

[1] 趙凱華，陳熙謀．電磁學(xué)第2版[M]．北京:高等教育出版社，1985．

[2] 張玉民，戚伯云．電磁學(xué)第1版[M]．北京:科學(xué)出版社，2000．

[3] 梁燦彬，秦光戎，梁竹鍵．電磁學(xué)第二版[M]．高等教育出版社，2004．

[4] 程守洙，江之永．普通物理學(xué)[M]．北京:高等教育出版社，1979．

[5] 梁紹榮，劉昌年，盛正華．普通物理學(xué)第三版[M]．北京:高等教育出版社，2005．