mKdv方程解的可視化

摘 要:利用Jacobi橢圓函數展開法求解mKdv方程的沖擊波解，在科學計算與模擬平臺上作出了其圖像，并且還作出了mKdv方程在分離變量法下的呼吸子解圖像，通過圖像展示了它的一些性質。

關鍵詞:mKdv方程 科學計算平臺 沖擊波 呼吸子 圖像

中圖分類號:O4-39文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2011)10(c)-0161-02

Images to the solution of mKdv equation

QIAN Ting;ZHENG Zao-song;HU Ya-ying

(South China Normal University，School of Physics and Telecommunication Engineering，Guangzhou 510006，China)

Abstract:Employed the expansion method of Jacobi elliptic function，I worked out the Shock Wave of mKdv equations and mapped out the image of it on the platform of scientific computing and simulation.Also I worked out the image of breath sub-solution when mKdv equations were analyzed through separating variables.Through those images，some of its features are displayed.

mKdv方程也稱變形的Kdv[1]方程，它是用攝動法或級數展開法求解較復雜的非線性演化方程時高階近似所滿足的方程，多應用于非線性光學，描述大氣的波動，及量子力學中，利用Jacobi橢圓函數的展開法適用于多種非線性波動方程的求解，例如非線性Kleln-Gordon方程，Boussinesq方程。雖然在很多書上有涉及到Kdv方程的求解，但過于繁雜，不適合低年級的學生推導及理解。同時，隨著計算機技術的不斷發展，利用計算機作圖直觀的展示一些特殊函數或非線性方程的解在教學中變的越來越重要，也就是當今正發展的數字教學培養模式。文獻[2]展示了Mathieu函數的圖像及以其為基礎的許多問題的圖像;文獻[3]用函數直觀的表現KP方程和一種新的NPDE孤立子糾纏;文獻[3]用推廣的Jacobi橢圓函數展開法解NLS方程，并作出了部分圖像。

1 mKdv方程演化解圖像

1.1 沖擊波解

對于mKdv方程:

(1)

(2)

有下列形式的解:

(3)

(4)

將(4)式代入(2)式有:

得: (5)

代入(3)式得 (6)

上式就是mKdv方程(1)的準確周期解。當m=1時，(6)可化為

(7)

上式就是mKdv方程的沖擊波解。

當t從0時刻不斷增加時，計算機作圖顯示沖擊波將保持原狀向右傳播。

1.2 呼吸子解

mKdv方程是非線性的頻散方程，經變換可化為如下形式:

(8)

設 (9)

則方程可化為:

(10)

令 (11)

再將方程的解設成分力變量的形式: (12)

可得:

(13)

可得(8)式的一個呼吸子解為:

(14)

其中為任何常數。

mKdv方程的呼吸子解的性質可以由圖1圖2現出來，圖1是在的情況下繪出的三維圖及位相，顯示了波局限在一定的時空區域內。圖2是在相同條件下給出了波形隨時間的演化圖，近似表示了一個時間周期中的波形變化，像呼吸一樣，表現出呼吸子的特征。

位相圖也顯示了呼吸子解隨著時間位移的變化，相位發生周期性的改變，如同一個波，初始條件的限制下，在某個局限的時空區域內傳播。下圖為呼吸子解在一個周期內的二維圖像:

從圖3可以知道一個周期大約為3.1s，顯示了一個周期內不同時刻的波形。不難看出，在任何時刻都保持近似孤立子的形狀并且沿著x軸向右傳播，它在x軸的上方和下方不斷變化，形似呼吸。

2 結語

本文把參考文獻[1]對Kdv方程求解的方法進行擴展，并求解出mKdv方程的沖擊波解，該擴展還可用于解答多種非線性方程。通過對mKdv方程進行一系列變換求得了它的呼吸子解，借用計算機模擬平臺，畫出呼吸子解的二維圖像并求解出該解的周期。同時，通過該平臺，可視化地展現了呼吸子解的三維圖像，動態地將復雜的非線性方程直觀的表現出來，相比起靜態的三維圖像更有利于反映解的一些性質。這有助于對方程的理解和物理實際問題中的應用。同時使用該計算機編程還可繪出許多物理圖像，比如針尖電場圖像，氫原子電子云運動圖像等等，將許多抽象的解答用圖像表現出來，幫助學生理解其意義。

參考文獻

[1]鄭強，岳萍，龔倫訓.Jacobi橢圓函數展開解的可視化.物理學報，2005，54(07):2996-04

[2]Gutierez-Vega J C et al 2003 Am .J.phys.71 233

[3]Zhang J F et al 2004 Commun. Theor.Phys.41 7

[4]沙琳，鐘鵬.mKdv方程的呼吸孤立子解.1003-1251(2006)02-0089-03

[5]李元杰.數學物理方程與特殊函數[M].北京:高等教育出版社，2009:190.