延拓 Vasicek模型參數估計

［摘 要］基于延拓Vasicek 模型，提出了一種有效的參數估計計算方法。這種方法將通過給定某一期限零息債券市場報價來實現對于時間函數的參數估計。

［關鍵詞］零息債券 最小二乘法 三次樣條

一、引言

近幾年來，經濟和金融的領域中，短期利率的模型被廣泛地應用。這是因為短期利率模型能夠很好的刻畫瞬時短期利率的變動規律。正是這個原因，目前有很多的短期利率模型的被提出。同時這類的模型很好地被應用到一些利率的衍生品的定價，如：債券、利率互換、利率的遠期合約等利率衍生品。

Vasicek（1977）建立Gauss擴散的短期利率模型。但這個模型有一個不如人意，瞬時的利率有可能是負值。Coxetal.（1985）（CIR）建立根均值的短期利率模型。相對Vasicek，在參數滿足Feller條件下，CIR模型的瞬時利率是正值。但這兩個模型都是考慮參數是常數。參數是常數可能不適合市場的數據。眾所周知，市場的利率是有期限結構的性質。而常數的參數，很難刻畫出這種性質。Ho和Lee(1986)提出部分參數是時間的函數，但是在Ho和Lee模型中，波動率仍然是一個常數，也就是在任何時刻波動率是常數。這種想象也有點違背市場的數據。因此，Hull和White（1990）延拓了Vasicek模型和CIR模型，

在Hull和White模型中，所有的參數都是時間的函數，并在他們的文章，利用這兩個模型對于利率互換的產品定價分析。進一步，Rogers（1995）在理論上分析Hull和White模型。

而在這篇文章中，我們將根據市場的數據來估計Hull和White（1990）延拓的Vasicek模型。考慮這個模型是因為這個模型有很好的分析性質，特別是應用到定價其他的利率衍生品。

二、模型

首先，假設短期利率r在風險中性測度下滿足如下的隨機微分方程：

（1）

其中， 均為時間函數，為標準的Brown運動，設如果是常數時候，（1）是Vasicek模型。

基于（1），在時間 時刻，到期日 支付為1單位的零息債券價格有如下表達式，

（2）

其中，E（#8226;∣#8226;）表示條件數學期望，表示為在t時刻的觀察值。如果是一個常數時，基于Vasicek模型（2）有解析表達式，這些結果可以參考Hull（2009）以及姜禮尚等（2008）。考慮到參數是時間時候，Rogers(1995)也證明（2）有顯示的表達式。

根據Feynman-Kac公式，在鞅的測度下，（1）適合下面的微偏分方程，

（3）

眾所周知（3）有一個仿射結構解，

(4)

其中，。也就是在到期日零息債券價格為一個單位。即使，和有解析的表達式，但他們是多重積分計算問題（參考Rogers(1995)）。因此，我們把這類問題歸結為求方程的問題。

基于（4），滿足下面的常微分方程

（Model 1）

其中，其終端條件 (Model 1)能夠被發現在Hull和White（1990）。

相應Model1的離散格式，設其中為了簡化說明，設Model 1的離散格式為：

（5）

其中，（5）終端條件，

基于（4），債券價格為

（6）

其中，。因此，對于不同的到期日，（6）能算出其相應的價格。

我們的問題是在給定市場零息債券價格下，估計Model 1中的參數，首先，假設在t時刻觀察到零息債券價格。理論上，當 T足夠大時候，我們能估計未來任何時刻的參數值，事實上，市場上的零息價格期限是有限，因此我們將討論基于離散的市場數據來估計依賴時間函數的參數。

其次，在我們的計算方法中，需要計算理論的價格和市場價格的殘值，這里我們將使用常微分方程計算。即使債券價格有顯示表達式，但它是一個三重積分計算問題，這就可能產生離散的誤差。使用偏微分方程計算時有顯著的誤差（看圖1）。

圖1基于Vasicek模型通過常微方程和偏微分計算零息債券價格數值解與精確解的比較，這里假設參數是常數，基于Vasicek模型，當r比較小時，常微分方程的數值解比較好，這歸因于計算其偏微分方程時，其在r大于零的值依賴于r小于零的值。另一原因在于偏微分數值結果依賴對空間變量r的離散誤差。而常微分方程數值解僅依賴t，r是一個外在的變量。

三、參數估計計算方法

為了簡化問題我們假設當前時刻，進一步我們假設有N個市場價格這就意味著到期日相同的債券有不同價格，這個根源于初始利率的不同，這個假設隱含著，市場上債券價格通過同一個模型而得到的。

進一步我們假設，市場價格滿足如下方程

（7）

其中，被稱為理論價格，表示理論價格和市場價格之間的誤差，直接求解（7）可能是不適定，這個歸因于理論價格可能是非線性的形式解而且市場價格報價存在誤差。這就導致來自（7）的解可能是不適定的，因此，我們可以把問題轉化為求下列極小值的問題

（8）

其中，表示所在領域，求（8）極小解，，可通過非線性最小二乘法，如果直接求解（8）時，對于至少有一個值是不能被計算，這個依賴于求解理論價格時離散格式。因此我們將通過三次樣條差值來計算端點的問題。

四、實證結果

我們使用美國國家債券每天交易市場數據，這篇文章所有使用的數據都來源于http://www.ustreas.gov.由于其報價是通過收益率曲線來實現，因此需要通過現值表達式轉化為債券的價格。設，當前時刻t，在T時刻其相應在收益率曲線上收益率為 ，那么其相應的零息債券價格為

（9）

如：t=0，y=0.015，T=5，其債券價格為0.92774.

我們考慮2009年整年的到期為5年債券每天數據 ，同時我們限制所有參數取值落在

1.另一類方法是正則化方法，這種方法不僅僅可以解決端點的問題，而且處理參數光滑性的問題，我們將在今后研究中將使用這類的方法估計參數。

2.選擇美國國家債券數據由于這類債券幾乎是無風險債券，而對于一般債券數據由于隱含違約風險因素，可能不滿足我們所考慮的模型。

3.該收益率曲線刻畫是實際收益率而不是名義收益率。

區間[0，1]。對于初始利率將適應美國國庫券到期為一周的每天收益率為初始利率。

表1列出基于Model 1參數估計結果，這里我們假設離散的步長 在表1中最后一列的數據通過三次樣條插值得到。通過觀察

表1：這個表格描述Model 1的參數估計數值結果，最后一行是（8）的殘值，所有的數據都乘以100。

數據，對于所有的數據變化大約或不超過0.1%，這就表明參數有足夠的光滑性。

為了測試算法的穩定性問題，我們在收益率和初始利率上添加擾動項，即：

（10）

（11）

其中是待定常數，是均值為0方差為1的正太分布的隨機變量。

在表2中，我們列出了RMES的值，通過觀察表2中數據，對于初始利率相對于初始的收益率數據更加穩定，根均值誤差幾乎沒有什么變化，雖然對于初始的收益率變動其根均值有微小的變化，但這樣的變化整體來說是可以接受的，如我們預期的一樣，我們的計算方法是穩定。

五、結論

我們主要考慮基于零息債券價格估計Model 1的參數，其中參數是依賴時間函數。我們所使用方法是眾所周知的最小二乘法。端點的處理通過三次樣條插值計算而得到。通過數值結果可知，基于債券市場數據，參數估計值是穩定的，同時參數的估計值的光滑性比較好。

參考文獻：

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[6] J. C. Hull， Options， Futures and Other Derivatives (7th ed.)， PrenticeEducation， Inc.， 2009.

[7]姜禮尚，徐承龍，任學敏，李少華等，金融衍生產品定價的數學模型于案例分析，高等教育出版社，2008

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