馬爾可夫模型在輪胎市場預測中的應用

［摘 要］從當前熱點問題出發，根據2010年北京輪胎市場占有率的調查數據，應用馬爾可夫預測法以及改進的最小二乘法，估計出轉移概率矩陣并預測出報告期市場占有率分布。

［關鍵詞］輪胎市場預測 馬爾可夫鏈 轉移概率矩陣 最小二乘法

我國汽車工業每年以兩位數的速度發展，高速公路迅猛增長，這給輪胎工業提供了良好的發展機遇和廣闊的市場空間。輪胎是汽車的惟一接地部件，不論是在瀝青路面上，還是在冰天雪地、草木土石中，眾多的汽車性能都要靠輪胎來實現。而輪胎作為一種重要的零部件和需要經常更換的消耗品，在市場上的競爭尤為激烈。

本文立足于對北京轎車輪胎的市場調查，試圖采用馬爾可夫預測法，分析如何對替換輪胎市場占有率做出合理預測。

一、馬爾可夫模型的基本原理

俄國數學家馬爾可夫指出，某些事物的隨機變化過程具有無后效性，即事物的將來呈現什么狀態、取什么值，僅與它現在的狀態和取值有關，而與它過去的狀態和取值無關。舉一個形象化的例子來說：池塘里現有三片荷葉和一只青蛙，假設青蛙只在荷葉上跳來跳去。若現在青蛙在荷葉A上，那么下一時刻青蛙要么在荷葉A上不動，要么跳到荷葉B上，或者跳到荷葉C上。青蛙究竟處在何種狀態上，只與當前狀態有關，而與之前它位于哪一片荷葉上并無關系。這種性質就是無后效性。馬爾可夫市場預測正是基于上述性質，通過市場調查獲取基礎數據，并根據馬爾可夫鏈的基本原理對數據進行特定運算，從而得出市場占有率未來狀態的預測結果。

之所以選擇馬爾可夫模型做市場預測，是因為市場占有率所具有的特點，用一般的預測方法如線性回歸很難得到準確的結果。傳統的線性回歸是根據歷史數據找出變化規律進行預測，而市場占有率的變化是一個隨機過程，沒有確定的變化規律可循，并且它的變化只與現在的企業產品狀態有關而與過去無關，因此，這一變化具有隨機性和無后效性兩個特點，也即具有馬爾可夫性。

馬爾可夫預測的原理是：假定商品由n個廠家提供，其中第j個廠家在第t 期的市場占有率為yt(j)，現有m+1期各廠家產品的市場占有率的概率分布，如果能得到轉移概率pij（消費者本期購買第i個廠家的產品，而在下一期轉而購買第j個廠家產品的條件概率），由馬爾可夫鏈的基本性質可知，各廠家產品的市場占有率的概率分布與轉移概率之間滿足如下關系式：

上式表明：在第 t+1期的第j個廠家的市場占有率，可以用第t期各個廠家的市場占有率與對應的轉移概率相乘之后再求和而得到。可以看出，問題的關鍵在于找到轉移概率pij，有了本期的市場占有率以及市場占有率的轉移概率，即可對后期的市場占有率進行預測。

將（1）式寫成矩陣形式，即：

下面將結合具體實例說明，如何根據市場調查得來的m+1期各廠家產品的市場占有率，做出對轉移概率的估計，并利用馬爾可夫模型完成對市場占有率的實際預測。

二、輪胎市場預測應用實例

表1是經過整理的2010年1月至12月北京轎車輪胎替換市場上各品牌市場占有率的調查數據。

可以把12月份的市場占有率作為本期市場占有率y12=(18.5%，13.2%，...20.0%)，用來對2011年1月以及遠期的市場占有率進行預測。現在的問題是，如何根據這12期各廠家產品的市場占有率，來估計轉移概率矩陣P=(pij)nXn的各個元素的值。

1.常規的最小二乘法估計轉移概率矩陣

根據文獻搜索的結果，比較常用的方法是用最小二乘法估計轉移概率矩陣P（見文獻4）。

可以將（2）式簡記為：Y=XP

利用最小二乘法對轉移概率矩陣的估計公式為：

P=(XTX)-1XTY(3)

將表1中1至10月份的市場占有率數據設為矩陣X，2至11月份數據設為矩陣Y，代入公式（3）得轉移概率矩陣的估計為：

據此可以預測下一期的市場占有率。將上述P'代入公式（1），得2011年1月的市場占有率：

y13= y12 P'=(17.8%， 13.32%， 11.57%， 10.19%， 29.23%， 17.87%)

但是，用這種方法估計出來的轉移概率矩陣是有缺陷的。首先，概率應該具有非負性，它的取值在0與1之間。觀察上述P'矩陣不難發現，有個別概率的取值超出了這個范圍。因此，雖然可以用它來預測短期的市場占有率，但嚴格說來這是一個不合格的轉移概率矩陣。另外，根據馬爾可夫鏈的遍歷性理論，此概率矩陣所聯系的馬爾可夫鏈顯然不具有遍歷性。也就是說，不能夠據此推測穩態的市場占有率。所以必須另想辦法。

2.改進的最小二乘法

為什么以上用最小二乘法估計的概率矩陣會出現負值呢？原因在于，公式（3）所代表的模型是一種等式約束的最小二乘法，它著重考慮了兩點：一個是最小方差性，另一個是概率的歸一性（即概率矩陣每一行的和恒為1）。但是，概率的非負性這一不等式約束沒有被納入到模型當中，因此概率矩陣出現負值也就不足為怪了。

為了解決這個問題，必須放棄公式（3）另辟蹊徑。筆者研究發現，微軟的應用程序Excel里面有一個“規劃求解”工具軟件，經過特定的設置就能很好地解決這一問題。

如圖1所示，還是設1至10月份的市場占有率數據為矩陣X，2至11月份數據為矩陣Y，按照圖1逐步進行函數設置。第一步：計算市場占有率的估計矩陣Y' ；第二步：計算離差e=Y- Y' ；第三步：計算方差e2；第四步：計算方差總和∑e2，為設置目標函數做準備；第五步：計算轉移概率矩陣每行之和，為設置第二個約束條件概率歸一性做準備。

然后設置規劃求解參數，選擇菜單命令“數據”→“規劃求解”，在彈出的對話框中設置參數，如圖2所示：把目標函數設為總方差取最小值，兩個約束條件分別設為概率取非負和行概率歸一。

從理論上來講，還可以進一步求出穩態的市場占有率。但是市場瞬息萬變，企業競爭激烈，穩定的轉移概率實際上并不多見，因此即使求出穩態的市場占有率也沒有太大的實際意義。

三、結果分析

從以上的預測結果來看，2011年5月份韓泰輪胎的市場占有率為18.74%，米其林的市場占有率為13.46%，固特異的市場占有率為10.40%，錦湖的市場占有率為9.58%，回力等的市場占有率為27.01%，其余品牌市場占有率合計為20.81%。預測顯示，整個市場的格局尤其是錦湖的市場份額并沒有發生大的改觀。以上的馬爾可夫預測是建立在轉移概率矩陣保持不變的前提下的。

然而根據初步調查，自從“3.15”晚會曝光之后，錦湖輪胎的市場銷售遭到重創，也就是說，實際情況是轉移概率矩陣一定發生了改變。那么到底發生了哪些改變？改變的幅度有多大呢？如果能夠掌握2011年5月份實際的市場占有率數據，就能夠通過比較而得到改變的情況。然而由于數據采集和匯總整理都需要一定周期，到筆者截稿時為止2011年4、5月份的市場占有率數據都還沒有出來。我們可以拭目以待，一旦數據出來，上述的預測結果可以被看作是在不變市場條件下的正常情況；而實際的數據可以看作是在市場發生重大意外事件之后的結果；把兩者進行比較就能看出此次重大事件對整個市場造成了哪些影響。至于如何進行比較，怎樣衡量影響的范圍及程度，可以作為后續的研究課題。

四、結語

本文在解決實際問題的 過程中，對文獻4中提及的最小二乘法估計轉移概率提出了質疑，發現它的缺陷在于沒有考慮概率非負這一不等式約束，并通過研究找到了自己的解決辦法。即借助具有統計功能的軟件Excel之“規劃求解”工具，把不等式約束納入到非線性規劃當中，最終得到了令人滿意的轉移概率矩陣。通過進一步的文獻搜索了解到，這一方法目前尚屬首創。

參考文獻：

[1] 陳軍斌 楊悅. 最優化方法 [M]. 北京：中國石化出版社. 2010

[2] 包鳳達 李竹寧. Excel在管理技術中的應用與拓寬[M]. 北京：清華大學出版社. 2010

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文