重視在解題教學(xué)中反思

“一旦獲解，就立即產(chǎn)生感情上的滿足，從而導(dǎo)致心理封閉，忽視解題后的再思考，恰好錯(cuò)過(guò)了提高的機(jī)會(huì)，無(wú)異于入寶山而空返”，題目的解出，并不意味著解題活動(dòng)的結(jié)束，恰恰相反，它可以是解題規(guī)律探究的新的開(kāi)始.

解后反思，這絕非是可有可無(wú)的，而是很必要的，“其作用不僅能改進(jìn)完善眼前的解題，而且能提煉出對(duì)未來(lái)解題有指導(dǎo)作用的信息（即形成數(shù)學(xué)觀念的基本素材，或稱解題經(jīng)驗(yàn)的信息儲(chǔ)備），進(jìn)一步升華為學(xué)生搜索、捕獲、分析、加工和運(yùn)用信息能力的總和——數(shù)學(xué)才能”.

例 已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c恒非負(fù)，且a

∵二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c恒非負(fù)，

∴a>0且Δ=b2-4ac≤0.

“你能否改變已知或未知，或者兩者都改變，使它們彼此更接近？”（波利亞）

解法一 ∵f(x)=ax2+bx+c≥0對(duì)x∈R恒成立，且b>a，

∴a>0且b2-4ac≤0，∴b>a>0且c≥b24a.

∴M=a+b+cb-a≥a+b+b24ab-a=(2a+b)24a(b-a)

=［(b-a)+3a］24a(b-a)

=b-a4a+9a4(b-a)+32

≥2b-a4a#8226;9a4(b-a)+32=3，

當(dāng)且僅當(dāng)b-a4a=9a4(b-a)，c=b24a，即b=c=4a時(shí)取等號(hào)，此時(shí)M取得最小值3.

解法可以運(yùn)用不等式(x+y)2≥4xy（或(x+y)24xy≥1)，

M=…≥［(b-a)+3a］24a(b-a)≥4(b-a)#8226;3a4a(b-a)=3，

取等號(hào)的條件為b-a=3a.

解法二 ∵f(x)=ax2+bx+c≥0對(duì)x∈R恒成立，

∴f(-2)≥0，即4a-2b+c≥0，∴a+b+c≥3(b-a).

又 b>a，∴b-a>0，∴a+b+cb-a≥3，即M≥3，

當(dāng)且僅當(dāng)Δ=b2-4ac=0，4a-2b+c=0，

即b=c=4a時(shí)取等號(hào)，∴M的最小值為3.

既然解法一得出了a+b+cb-a≥3，

可變形為4a-2b+c≥0，即f(-2)≥0.

解法三 依題設(shè)知b>a>0，c≥b24a>0，∴M=a+b+cb-a>0.

又 由M=a+b+cb-a，得c=(M-1)b-(M+1)a.

代入Δ=b2-4ac≤0中，有

b2-4a［(M-1)b-(M+1)a］≤0，

即b2-4(M-1)ab+4(M+1)a2≤0.(*)

設(shè)g(b)=b2-4(M-1)ab+4(M+1)a2.

∵g(0)=4(M+1)a2>0，故要使（*）有正實(shí)數(shù)解，必須Δ1=［-4(M-1)a］2-4×4(M+1)a2≥0，

化簡(jiǎn)，得M(M-3)≥0.

又 M>0，∴M≥3，即M的最小值為3.

解法四 由二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c≥0恒非負(fù)，有

a>0，b2-4ac≤0.

又 aa>0且c≥b24a>0，

可知M=a+b+cb-a>0，記最小值為k>0，則

a+b+cb-a≥k，有(k+1)a+(1-k)b+c≥0，

與“二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c恒非負(fù)”，即ax2+bx+c≥0對(duì)x∈R恒成立對(duì)照，取k+1=x2，1-k=x，

消去x(或k)，得(1-k)2=k+1(或x2+x-2=0)，

解得x=-2，k=3或x=1，k=0（舍去）.

∴當(dāng)x=-2時(shí)，M=a+b+cb-a≥3，且當(dāng)f(-2)=0時(shí)不等式取等號(hào).

當(dāng)a>0，b2-4ac=0，4a-2b+c=0b=c=4a時(shí)，M有最小值3.

解法五 依題設(shè)易得b>a>0，c≥b24a.

∴M=a+b+cb-a≥a+b+b24ab-a=1+ba+b24a2ba-1.

設(shè)ba=t，則t>1，又設(shè)g(t)=1+t+14t2t-1，

由g′(t)=0，得t=4.

當(dāng)04時(shí)，g′(t)>0.

∴當(dāng)t=4時(shí)，取得最小值3.易知此時(shí)M也取得最小值3.

教學(xué)的意義，不單是讓學(xué)生知道得更多，知識(shí)面更廣，尤其在于教會(huì)學(xué)生在知道別人的東西的同時(shí)，有能力和機(jī)會(huì)悟出自己的東西，這種“悟”的過(guò)程，離不開(kāi)想象，離不開(kāi)探索，離不開(kāi)反思，離不開(kāi)豐富多彩的結(jié)論的交鋒，但或許正是這個(gè)過(guò)程，最終才能讓我們的學(xué)生學(xué)會(huì)創(chuàng)造，學(xué)會(huì)創(chuàng)新，成就他們的天才和德行.

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