課堂引入實例探究——以矩陣代數(shù)為例

【摘要】針對目前高職學生基礎薄弱、基礎差異較大、學生學習矩陣代數(shù)有畏懼心理、學習興趣不濃厚等實際情況，我們在矩陣代數(shù)教學中進行教學提問設計優(yōu)化的實例探究，以提高學生的學習熱情和與教師的教學互動，為矩陣代數(shù)的學習打下良好的基礎.

【關鍵詞】數(shù)學教學；提問設計；矩陣代數(shù)；高職

一、高職學生學習矩陣數(shù)學的現(xiàn)狀

高職學生生源分普高學生和職高學生兩部分，總體上入學數(shù)學成績差異較大，數(shù)學基礎參差不齊，這使得部分高職學生學習數(shù)學時明顯地缺乏自信心，產生學習數(shù)學的畏難情緒.《矩陣代數(shù)》是繼學習《微積分》之后的一門課程，部分學生將在《微積分》學習中的困難情緒延續(xù)到《矩陣代數(shù)》的學習中，稍有難一點的知識或繁瑣的解題步驟就將困難放大，造成了學習困難.我在矩陣代數(shù)教學之初，進行了教學提問設計優(yōu)化，增加知識的過渡性，來消除學生的畏難情緒，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，收到了良好的教學效果.

二、課堂引入實例探究一：矩陣的乘法

在矩陣代數(shù)剛開始學的時候，學生感到難的地方之一是矩陣的乘法.現(xiàn)有的教材基本上都是先給出乘法的原理和方法，然后進行例子的講解和計算，很少有為什么這么計算的導入例子，這樣，一來學生不明白為什么要這樣乘、這樣做要干什么，二來計算又有些難度，教師在第一節(jié)課中若一講而過，有的學生甚至到課程結束也沒有學好矩陣的乘法.我在這個環(huán)節(jié)提出了一個家常的例子——計算電費.如：寧波市為避開高峰期用電，鼓勵夜間用電實行峰谷電，白天（上午8點~晚上10點）與夜間（晚上10點~早上8點）電費分別為0.568元和0.28元.某三戶人家某月的白天和夜間用電情況如下:121和35，135和25，142和44.問這三戶人家該月的電費分別是多少？用矩陣表示.這個例子讓學生自由討論，然后給出矩陣相乘的定義，再進行練習鞏固.在討論中學生設計出了兩套方案，了解矩陣乘法的優(yōu)勢，這樣下來定義的給出自然了許多，學生更容易接受，再通過幾個練習的鞏固，基本上學生都能掌握矩陣相乘這一知識點.

三、課堂引入實例探究二：矩陣的初等變換

在矩陣代數(shù)中，矩陣的初等變換是學習矩陣的一個重要的基礎知識，它對后續(xù)學習逆矩陣、解矩陣方程等知識起著非常重要的作用，因此學好矩陣的初等變換非常重要.在引入中，第一步我引入了一個實例：在建造飛機前，工程師會利用數(shù)值模擬技術在計算機虛擬仿真系統(tǒng)中構建出飛機的三維模型，并通過飛機飛行過程中的虛擬來研究飛機周圍氣流的變化，以解決飛機結構設計中的重大問題.為了得到飛機結構的三維模型，典型的做法是向飛機的虛擬實體模型中添加一個三維的立方體網(wǎng)格，每個小網(wǎng)格中的立方體稱為三維單元，一個典型的三維網(wǎng)格可能包含著幾十萬個甚至上百萬個三維單元.當三維網(wǎng)格足夠小時，則在該單元上的描述氣流的復雜方程可以被簡單的線性方程組代替.這種方法稱為“有限單元法”，目前成為眾多計算和仿真軟件系統(tǒng)的算法基礎.用這個例子強調很多的科學問題會涉及解線性方程組.第二步：讓同學們解一個矩陣方程組，如2x1+2x2-x3=6，x1-2x2+4x3=3，3x1+5x2-9x3=0，演示每一步過程，解得x1=1，x2=3，x3=2.然后用動畫模擬矩陣每一步變化過程，22-161-24335-90→1-24302-9000-32-9→100101030012，通過兩個矩陣的區(qū)別得到階梯矩陣和簡化階梯矩陣的概念，告訴同學們，將矩陣變換到階梯矩陣再到簡化階梯矩陣，可以實現(xiàn)解線性方程組.用這個例子引出矩陣的初等變換，這樣學生既明確了為什么這樣做，也知道了這樣做的明顯優(yōu)勢，學習起來會更加有目的性，效果比原來直接講什么是初等變換要好很多.

四、課堂引入實例探究三：矩陣的秩

在講完矩陣的初等變換后，直接講矩陣的秩，有兩個不足：一是過渡很生硬，不自然；二是學生會糊里糊涂，搞不明白為何要講矩陣的秩這個概念.老師講它干什么.很多老師只是在這里交代了概念，那么基礎較好的學生會在后續(xù)學習解線性方程組解的情況中明白過來，而大部分學生會在后續(xù)學習中產生學習障礙.我在這里對教材的處理是增加了兩個矩陣初等變換的練習，如，31021-12-113-4413-4440108，24101032-15-310102，前一個出現(xiàn)了全零行，后一個則是滿秩的，提問：出現(xiàn)全零行對方程的解有什么影響？這個例子起到了承前啟后的作用，既復習了矩陣的初等變換，又將矩陣的秩自然地引了出來，這樣做學生比較容易接受，效果也比較好.

通過這些簡單而巧妙引入的設計，讓學生明白很多知識之間是緊密相連的，不僅能夠在矩陣代數(shù)初學時讓學生覺得輕松、簡單，消除他們的畏難情緒，更能讓學生較好地掌握知識，理解為什么這樣做、怎么做，從而激發(fā)學生的學習興趣和動力，為課程后續(xù)的教學打下良好的基礎.

【參考文獻】

［1］鄭毓信.數(shù)學教學的有效性和開放性［J］.課程#8226;教材#8226;教法，2007(7):28-29.

［2］孫崇來.精心設計問題提高教學效益［J］.江蘇教育，1996(6)：26

［3］［荷蘭］弗賴登塔爾.作為教育任務的數(shù)學［M］.陳昌平，唐瑞芬，等譯.上海:上海教育出版社，1995.

［4］吳贛昌.線性代數(shù)（理工類）［M］.北京：中國人民大學出版社，2009.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文