兩種常見(jiàn)恒成立問(wèn)題的解法

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)涉及一些命題的恒成立問(wèn)題.常見(jiàn)的類(lèi)型有：不等式的恒成立問(wèn)題、方程的恒有解問(wèn)題等.不同的問(wèn)題，有不同的處理方法，不同的處理方法也使問(wèn)題的難易程度大相徑庭，想知道這其中的奧秘嗎？請(qǐng)看下文：

一、不等式的恒成立問(wèn)題

1.判別式法

一元二次不等式是高中的重點(diǎn)知識(shí)，一元二次不等式的恒成立問(wèn)題更是屢見(jiàn)不鮮.解決一元二次不等式的恒成立問(wèn)題最常用的方法就是判別式法.

例1 若不等式3x2+ax+1>0恒成立，則a的取值范圍是？

解析 3x2+ax+1>0恒成立，可看作二次函數(shù)f(x)=3x2+ax+1與x軸無(wú)交點(diǎn)，∴Δ<0，即a2-12<0，∴-23<a<23.

由例1可見(jiàn)，判別式法其實(shí)就是利用一元二次不等式解集為全體實(shí)數(shù)的條件來(lái)判斷參數(shù)所滿足的范圍.那下面這道題還能用判別式法來(lái)做嗎？

例2 已知不等式x2+(a-3)x+2>0，當(dāng)x∈［1，2］時(shí)恒成立，求a的取值范圍.

分析 乍一看，例2與例1如出一轍，那也讓它的Δ<0，求a的范圍行嗎？顯然不可以，因?yàn)槔?中的不等式恒成立，并不是在全體實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，它只要求在x∈［1，2］時(shí)恒成立，如果也讓?duì)?lt;0，就會(huì)擴(kuò)大約束條件，從而導(dǎo)致參數(shù)范圍變小.那怎么辦呢？我們可考慮最值法.

2.最值法

最值法就是把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求最值問(wèn)題.如:f(x)>a恒成立，只需f(x)的最小值大于a即可.f(x)

（1）直接求最值法

例3 若|x-3|+|x+5|>a2-2a+5恒成立，求a的取值范圍.

解析 由最值法知，不等式|x-3|+|x+5|>a2-2a+5恒成立，只需a2-2a+5

∵|x-3|+|x+5|≥|(x-3)-(x+5)|=8，

∴a2-2a+5<8即可，∴-1

下面我們來(lái)看前面提到的例2.

顯然不等式x2+(a-3)x+2>0，當(dāng)x∈［1，2］時(shí)恒成立，只需f(x)=x2+(a-3)x+2，x∈［1，2］的最小值大于0即可.

∵f(x)開(kāi)口向上，

∴只需1≤-a-32≤2，f-a-32>0或-a-32<1，f(1)>0或-a-32>2，f(2)>0.

∴a>3-22.

思考 最值法雖能解決例2的問(wèn)題，但與例3比較，難度大，計(jì)算量更大.原因在哪呢？原因是取最值的點(diǎn)不好確定.因?yàn)樗艿絽?shù)的影響.那我們能不能避免這一問(wèn)題呢？當(dāng)然可以！這就是分離參數(shù)求最值法.

（2）分離參數(shù)求最值

下面我們重新來(lái)解一下例2.

解 x2+(a-3)x+2>0，當(dāng)x∈［1，2］時(shí)恒成立，

即ax>3x-x2-2，當(dāng)x∈［1，2］時(shí)恒成立，

即a>3x-x2-2x，當(dāng)x∈［1，2］時(shí)恒成立，

∴只需a大于f(x)=3x-x2-2x，x∈［1，2］的最大值即可.

又 f(x)=3x-x2-2x=3-x+2x≤3-22，

當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立，

∴a>3-22.

小結(jié) 最值法是解決不等式恒成立問(wèn)題的有力工具，如直接求最值不好求時(shí)，而參數(shù)易分離時(shí)，可先分離參數(shù)再求最值.

3.參變互換法

例4 若x2+(m+3)x+3≥0，當(dāng)m∈［1，3］時(shí)恒成立，求x的范圍.

分析 這一題目是參數(shù)在一定條件下，而去求變量的范圍，使之恒成立的問(wèn)題.像這樣的問(wèn)題，一般考慮參變互換，即把m當(dāng)作變量，而把x當(dāng)作參數(shù)來(lái)求.

解 ∵x2+(m+3)x+3≥0，當(dāng)m∈［1，3］時(shí)恒成立，

∴xm+x2+3x+3≥0，當(dāng)m∈［1，3］時(shí)恒成立即可.

令f(m)=xm+x2+3x+3，

∴只需f(m)≥0，當(dāng)m∈［1，3］時(shí)恒成立即可.

f(m)可看作關(guān)于m的一次函數(shù)，

∴只需f(1)≥0，f(3)≥0即可.

∴m≤-3-6或m≥-3+6.

4.數(shù)形結(jié)合法

例5 若x2

圖 1

分析 此題不同于前面各題，既不是二次不等式問(wèn)題，也不能簡(jiǎn)單的去求最值.但仔細(xì)觀察我們會(huì)發(fā)現(xiàn)不等式左右兩邊均可看作一個(gè)函數(shù)，顯然x2

圖 2

解 根據(jù)分析可知：當(dāng)x∈0，12時(shí)，函數(shù)f(x)=x2的圖像只要落在函數(shù)g(x)=logax的下方即可.如圖1，顯然a>1時(shí)，不可能.∴a<1，如圖2，故當(dāng)x∈0，12時(shí)，函數(shù)f(x)=x2落在函數(shù)g(x)=logax的下方恒成立只需loga12≥122即可.

∴116≤a<1.

二、方程的恒有解問(wèn)題

1.直接利用判別式

例6 若方程x2+(1-3a)x+a=0有解，則a的取值范圍是？

分析 一元二次方程恒有解，顯然只需Δ≥恒成立即可.

解 ∵Δ=(1-3a)2-4a=9a2-10a+1≥0，

∴a≥1或a≤19.

從上例可見(jiàn)，判別式法是解決一元二次方程恒有解問(wèn)題的強(qiáng)有力工具.但這一方法有很大的局限性，它對(duì)于一元二次方程在全體實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的有解問(wèn)題比較方便，但對(duì)于一些有約束條件的有解問(wèn)題就顯得比較麻煩了.請(qǐng)看下例：

2.利用一元二次方程根的分布

例7 若方程2a#8226;9sinx+4a#8226;3sinx+a-8=0有解，則a的取值范圍是？

分析 由于9sinx=(3sinx)2，∴令3sinx=m，則方程2a#8226;9sinx+4a#8226;3sinx+a-8=0有解，即方程2am2+4am+a-8=0，當(dāng)m∈13，3時(shí)有解.顯然此時(shí)只要求Δ≥0就不夠了.（想一想，為什么？）那怎么辦呢？我們可結(jié)合一元二次方程根的分布來(lái)分析.

解 令3sinx=m，則方程2a#8226;9sinx+4a#8226;3sinx+a-8=0有解，即方程2am2+4am+a-8=0，當(dāng)m∈13，3時(shí)有解.

令f(m)=2am2+3am+a-8.

∵f(m)的對(duì)稱(chēng)軸為m=-113，3，

∴該方程在13，3上最多有一個(gè)解，

∴若方程2am2+4am+a-8=0，當(dāng)m∈13，3時(shí)有解只需f13#8226;f(3)≤0即可.

∴831≤a≤7223.

3.有解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求值域

在例7的分析過(guò)程中有心的讀者可能發(fā)現(xiàn)，f(m)=2am2+4am+a-8這個(gè)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸固定，因此我們?cè)诶酶姆植紒?lái)處理該方程的有解問(wèn)題時(shí)，變得簡(jiǎn)單易行.可如果對(duì)稱(chēng)軸不確定，就必然需要討論，為解題帶來(lái)麻煩.如下例：

例8 若方程a#8226;9sinx+(a-2)3sinx+a-1=0有解，則a的取值范圍是？

解 令3sinx=m，則方程a#8226;9sinx+(a-2)3sinx+a-2=0有解，即方程am2+(a-2)m+a-2=0，當(dāng)m∈13，3時(shí)有解.

am2+(a-2)m+a-2=0可變形為a=2m+2m2+m+1（記作*式）.

顯然，*式可看作關(guān)于m的一個(gè)函數(shù).由值域的定義可知，方程am2+(a-2)m+a-2=0，當(dāng)m∈13，3時(shí)有解，a的范圍即函數(shù)f(m)=2m+2m2+m+1的值域.易得，a∈813，2613.

4.數(shù)形結(jié)合

例9 若方程2x-x2=k(x-2)+2恒有兩個(gè)解，求k的范圍.

分析 此方程雖然平方能夠化成一元二次方程的形式，但平方易產(chǎn)生增根，并且含參一元二次方程需要討論等問(wèn)題都給解題帶來(lái)麻煩.因此我們可把方程兩邊分別看作兩個(gè)曲線，把方程的有解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成兩曲線的存在交點(diǎn)的問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合的辦法予以解決.

圖 3

解 令y=2x-x2(0≤x≤2)其圖形是以(1，0)為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方（包括x軸）的部分.令y=k(x-2)+2表示過(guò)定點(diǎn)P(2，2)、斜率為k的直線.在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出它們的圖形，觀察如圖，符合要求的直線l介于直線l1，l2之間（包括l2，不包括l1），其中l(wèi)1與半圓相切，l2過(guò)原點(diǎn).通過(guò)計(jì)算容易求得l2的斜率為1，l1的斜率為34.所以34

例10 若方程x3-3x-a=0恒有三個(gè)解，則a的取值范圍為.

圖 4

分析 仿上例方程x3-3x-a=0可看作函數(shù)f(x)=x3-3x與y=a有3個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)f(x)=x3-3x的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=3x2-3.令f′(x)≥0，解得x≥1或x≤-1.令f′(x)≤0，解得-1≤x≤1.則函數(shù)f(x)在(1，+∞)和(-∞，-1)上單調(diào)遞增，在(-1，1)上單調(diào)遞減.由此畫(huà)出f(x)的草圖（如圖4）.

由圖形看出-2

溫馨提示 方法永遠(yuǎn)沒(méi)有萬(wàn)能的.我們能不能找到最合適的方法，關(guān)鍵是在日常的學(xué)習(xí)中能否不斷地總結(jié)，發(fā)現(xiàn)探索題目背后的規(guī)律.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文