“歸納推理”在求數列通項公式中的運用

求解數列的通項公式一直是高考試題中最常見的問題，尤其是利用遞推公式求數列通項更是頻繁出現.因此，許多教師在教學中，介紹了不少解題方法和技巧，如特征根法、不動點法.實際上，“歸納推理”可以解決一些常規方法不好解決的由遞推公式求數列通項公式的問題.下面就結合近三年各地高考試題中求數列通項的問題，進行說明.

例1 （2008年遼寧卷21）在數列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差數列，bn，an+1，bn+1成等比數列（n∈N*），求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測{an}，{bn}的通項公式，并證明你的結論.

解 由條件，得2bn=an+an+1，a2n+1=bnbn+1.

由此可得a2=6，b2=9，a3=12，b3=16，a4=20，b4=25.

猜測an=n(n+1)，bn=(n+1)2.

用數學歸納法證明：

①當n=1時，由上可得結論成立.

②假設當n=k時，結論成立，即

ak=k(k+1)，bk=(k+1)2.

那么當n=k+1時，

ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2)，

bk+1=a2k+1bk=(k+2)2.

所以當n=k+1時，結論也成立.

由①②，可知an=n(n+1)，bn=(n+1)2對一切正整數都成立.

例2 （2008年重慶卷22）設各項均為正數的數列{an}滿足a1=2，an=a32n+1an+2(n∈N*)，若a2=14，求a2，a3，并猜想a2008的值（不需證明）.

解 ∵a1=2，a2=2-2，

故a3=a1a2-32=24，

a4=a2a3-32=2-8.

由此有a1=2(-2)0，a2=2(-2)2，a3=2(-2)2，a4=2(-2)3，

故猜想{an}的通項為an=2(-2)n-1(n∈N*).

∴a2008=2(-2)2007.

例3 （2009年江西卷理）各項均為正數的數列{an}，a1=a，a2=b，且對滿足m+n=p+q的正整數m，n，p，q都有am+an(1+am)(1+an)=ap+aq(1+ap)(1+aq).當a=12，b=45時，求通項an.

解 由am+an(1+am)(1+an)=ap+aq(1+ap)(1+aq)，得

a1+an(1+a1)(1+an)=a2+an-1(1+a2)(1+an-1).

將a1=12，a2=45代入化簡，得

an=2an-1+1an-1+2.

則a3=1314，a4=4041，猜想an=3n-123n-12+1=3n-13n+1.

用數學歸納法證明：

①當n=1時，由上可得結論成立.

②假設當n=k時，結論成立，即ak=3k-13k+1.

那么當n=k+1時，

ak+1=2ak+1ak+2=2#8226;3k-13k+1+13k-13k+1+2=3k+1-13k+1+1.

所以當n=k+1時，結論也成立.

由①②，可知an=3n-13n+1對一切正整數都成立.

例4 （2007年天津理21）在數列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*)，其中λ>0.求數列{an}的通項公式.

解 由a1=2，an+1=λan+ λn+1+(2-λ)2n(n∈N*)，

可得a2=λ2+4，a3=2λ3+8，a4=3λ4+16.

猜想an=(n-1)λn+2n.

用數學歸納法證明：

①當n=1時，由上可得結論成立.

②假設當n=k時，結論成立，即ak=(k-1)λk+2k.

那么當n=k+1時，

ak+1=λak+λk+1+(2-λ)2k

=(k-1)λk+1+λ#8226;2k+λk+1+(2-λ)2k

=kλk+1+2k+1.

所以當n=k+1時，結論也成立.

由①②，可知an=(n-1)λn+2n對一切正整數都成立.

由以上例題的求解過程可以看出，利用“歸納推理”求數列通項時，首先要由題中的已知，求出數列的前幾項，進行觀察，找出規律，提出猜想.然后，再用數學歸納法進行證明.如果只觀察數列的前幾項，沒有發現規律，不妨多求幾項，以增加猜想的可信程度.

牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發現.”“歸納推理”是探索數學規律的一種方法，著名的哥德巴赫猜想就是經過“歸納推理”獲得的.既是猜想，不可能都是正確的，但是畢竟向真理逼近了一步.因此，我們要學會“歸納推理”，敢于猜想.

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