迅速建立解題思路的幾點策略

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要活動，解題過程實質(zhì)就是充分挖掘已知條件，選擇合理可行的解題思路和途徑，將已知條件進行優(yōu)化組合與變形、化簡、整理，逐步達到題設(shè)目標(biāo)的過程.通過審題，能否迅速形成解題思路是決定解題速度和提高解題能力的關(guān)鍵.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題思路對能否迅速解決數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力具有重要作用.

在實際教學(xué)中，可采用“根據(jù)信息特征，聯(lián)想知識點；數(shù)形結(jié)合，直觀感受；從特殊實例出發(fā)，借助特殊位置、數(shù)值或特殊元素，具體形象地感受；變換問題角度，改變思維方向，挖掘條件與結(jié)論之間的內(nèi)在關(guān)系，形成解題思路；挖掘已知條件中隱含的條件”等幾方面進行解題思路的突破.下面結(jié)合教學(xué)實例，談?wù)勓杆俳⒔忸}思路的幾點策略.

1.聯(lián)想對比的策略

通過觀察問題中已經(jīng)給出的數(shù)或式子，根據(jù)信息抓住關(guān)鍵特征，聯(lián)想對比知識，往往能很快發(fā)現(xiàn)解題思路.

例1 已知a，b，c∈R，滿足5a+c5b=1.則下面結(jié)論正確的是().

A.b2-4ac=0

B.b2-4ac≥0

C.b2-4ac≤0

D.b2-4ac>0

分析 面對此題中的條件和結(jié)論，感到好像是考查不等式，但思路難以建立，這時注意結(jié)論中b2-4ac這個關(guān)鍵信息，不難聯(lián)想到一元二次方程中根的判別式，于是可以將5a+c5b=1變形為a(5)2+b5+c=0，說明5是方程ax2-bx+c=0的根，即說明方程ax2-bx+c=0必然有實數(shù)根，所以b2一4ac≥0，于是選擇B.

像這樣類型的問題在我們解題中常常遇到，例如，計算x2+4x+5±x2+x+1的值域時，常常聯(lián)想兩點間距離公式.因此，在學(xué)習(xí)過程中不斷積累經(jīng)驗，就能很快發(fā)現(xiàn)解題思路.

2.數(shù)形結(jié)合的突破策略

在解題時，往往注重文字表達的含義和數(shù)值運算，不注意或很少借助“形”去直觀理解感覺，而很多題目往往從直觀圖形上更好解決.

例2 若不等式logax>x2在x∈0，12上恒成立，求a的取值范圍.

分析 解決該問題，如果當(dāng)作解不等式問題來解決，則運算量大，而且不容易計算，故可以考慮利用函數(shù)圖像解決，構(gòu)造函數(shù)y=logax和y=x2，然后在同一個坐標(biāo)系中分別作出它們的圖像，只需在x∈0，12時，使函數(shù)y=logax的圖像在變化過程中始終在函數(shù)y=x2的圖像的上方即可得到a的取值范圍.

例3 已知點P(m，n)是直線ax+by+2c=0上的點，且a，b，c恰為直角三角形的三邊長，c為斜邊，則m2+n2的最小值是.

分析 此題將點P(m，n)的坐標(biāo)代入直線ax+by+2c=0方程中，再通過消元將m2+n2化為含有一個變量的式子，再利用函數(shù)最值的方法計算，好像能解決，但實際運算很難利用已知條件“恰為直角三角形的三邊”，而且運算量很大；而若能聯(lián)想到a，b，c，m2+n2的幾何意義，該題實質(zhì)就是計算原點到直線ax+by+2c＝0上的點的距離的平方的最小值，所以運用點到直線的距離公式計算：m2+n2=2ca2+b22=4c2a2+b2=4.

像這種在用數(shù)值難于計算或不能計算時，常常聯(lián)想構(gòu)造圖形來解決，既能減少運算量又能提高正確率，是我們解題中時刻不能忘記的一個重要工具，即“得意不要忘‘形’”.

3.特殊模型的開路策略

在許多問題中，我們常常感到已知條件十分陌生，難于理解，不能建立解題思路，這時可以通過一些特殊情況進行具體的直觀的感受，從特殊實例出發(fā)，借助特殊位置、數(shù)值或特殊元素等，從中獲得信息找到問題突破口.

例4 已知：a，b，c為△ABC的三邊，滿足a2+b2>c2，則對任意n>2(n∈N)，判斷三角形的形狀.(鈍角三角形、銳角三角形、直角三角形、等腰直角三角形)

分析 此題直接解決十分難入手，由于n>2(n∈N)，因此當(dāng)n取不同數(shù)值時所得的結(jié)果應(yīng)該是相同的，所以不妨取一些特值進行判斷.如n＝3時，可以將a，b，c賦上特值進行判斷，如a=43，b＝44，c＝45；然后取n＝4，a2+b2＝2+3>c2＝5，所以該三角形是銳角三角形.

這種方法，在許多問題中都可以運用，在高考選擇填空題中運用得更多.像在解析幾何問題中，常常遇到定點和定值問題，或在運動變化過程中探求問題的問題中，我們都可以先通過特殊情境探究結(jié)論，從而有目的地將問題解決.

4.正難則反的思考策略

當(dāng)問題正面解決比較困難時，可以改變思維方向，從問題的反面思考，從而探求出問題解決的方法.

例5 四面體的頂點及各棱的中點共10個點，在其中任取不共面的4點，則不同取法共有多少種?

分析 本題若從正面考慮，很難進行分類，若從反面入手，用補集思想，則可以簡化問題.即從10個點中任取4個共有C410種取法，在排除共面的4點恰在四面體的面內(nèi)有4C46種取法，再排除每條棱上的3個點與其相對棱的中點共面的情況共6種，還有6個中點構(gòu)成的3個平行四邊形，故不共面的取法共有C410-4C46-6-3=141(種).

5.挖掘內(nèi)在規(guī)律的發(fā)現(xiàn)策略

有些題目，審題時可以將條件和結(jié)論有機結(jié)合起來，挖掘條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)解題思路.

例6 已知函數(shù)f(x)=x3+2x，若任意實數(shù)x1，x2，x3滿足x1+x2>0，x2+x3>0，x1+x3>0，則f(x1)+f(x2)+f(x3)().

A.大于零

B.小于零

C.大于等于零

D.不能確定

分析 此題明顯是考查函數(shù)有關(guān)知識，而且給出自變量x1，x2，x3的不等關(guān)系，判斷函數(shù)值的符號，應(yīng)該聯(lián)想到運用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性來解決問題，從而探求出函數(shù)f(x)=x3+2x的單調(diào)性和奇偶性，即它是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，而且為單調(diào)增函數(shù)，所以由x1+x2>0，x2+x3>0，x1+x3>0易得x1>-x2，x2>-x3，x1>-x3，所以f(x1)>f(-x2)=-f(x2)，所以f(x1)+f(x2)>0.同理可得其他，再將各式相加，即得f(x1)+f(x2)+f(x3)為正數(shù)，所以選擇A.

像這種明顯帶有知識點特色的習(xí)題在考試中常見，例如在解析幾何題目中，有關(guān)圓錐曲線的題目，很多都要考慮到用定義解題，在數(shù)列題目中，往往結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)整體運算的多，只要在學(xué)習(xí)中注意觀察和總結(jié)，不難發(fā)現(xiàn)一些常規(guī)的解法.

特別要注意挖掘已知條件中隱含的條件，揭開題目神秘的面紗發(fā)現(xiàn)其實質(zhì)，能很快找到解題思路.所謂隱含條件實質(zhì)就是題目本身具有或客觀存在的事實，而題目中往往不明確指出，所以容易忽略，找不到解題思路.當(dāng)仔細閱讀題目條件并能抓住其隱含條件時，往往就找到解題思路了.

例7 已知△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，則C等于().

A.150°

B.30°

C.150°或30°

D.不能確定

分析 給出的條件十分有限，僅僅兩個式子，其實隱含的條件有：三角形中角的范圍；三個角的和為180°，所以只要知道兩個角的和，就能計算出第三個角；還隱含同名三角函數(shù)的關(guān)系：sin2α+cos2α=1.為利用以上關(guān)系，將兩個已知式子同時平方，再將等號左右兩邊的值分別相加，得9+16+24sinAcosB+24cosAsinB=37，再整理為sin(A+B)=12，再利用sin(A+B)=sinC，可以得到sinC=12，從而∠C等于150°或30°.再利用條件3sinA+4cosB=6中隱含的3sinA=6-4cosB>0，所以032>13，產(chǎn)生矛盾，所以應(yīng)該選擇B.

以上是我在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)的一些能夠較快建立解題思路的方法，在數(shù)學(xué)解題中，只要做一個有心人，善于總結(jié)，善于發(fā)現(xiàn)，善于探究，就會不斷提升解題水平和解題能力.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文