二次函數圖像頂點軌跡探究

一、引 言

二次函數是中學數學一個非常重要的函數，是初中和高中數學的一個知識的交匯點，是研究一般函數圖像、性質的一個很典型的函數模板.從具體的二次函數的圖像和性質方面去研究一些函數圖像之間的變換特點和規律，進而引導學生對一般函數圖像間的變換特點和規律的了解和掌握，從特殊到一般，再由普遍的一般規律去指導具體的函數問題.二次函數的圖像和性質體現了數形結合的數學思想，對學生基本數學思想和素養的形成起推動作用.

而對于常見的二次函數的圖像頂點的軌跡少有探討，在二次函數圖像和性質的教學中，老師利用幾何畫板展示拋物線y=ax2+bx+c的圖像，當參數發生變化時，圖像的變化引起大家的興趣.課后我從二次函數的一般式以及交互式參數的角度研究了二次函數圖像頂點軌跡的變化規律.

二、二次函數一般式y=ax2+bx+c中系數a，b，c對圖像頂點軌跡的影響

1.二次項系數a對圖像頂點軌跡的影響

二次函數y=ax2+bx+c的圖像頂點為

x=-b2a，(1)

y=c-b24a，(2)

(1)×b2-(2)，得y=b2x+c.

當a變化時，二次函數圖像頂點移動軌跡是沿y=b2x+c這條直線移動的.

2.一次項系數b對圖像頂點軌跡的影響

由（1），得b=-2ax.

將其代入（2）中，得y=c-(-2ax)24a=c-4a2x24a=c-ax2.

所以，b變化時，二次函數圖像頂點軌跡是沿拋物線y=c-ax2移動.

3.常數項c對圖像頂點軌跡的影響

因為c的變化只影響y，對x無影響，故當c變化時，頂點橫坐標不變，在直線x=-b2a上移動.

綜上所述，二次函數一般式y=ax2+bx+c中，系數a，b，c對圖像各有影響.當a變化時，二次函數圖像頂點移動軌跡是沿y=b2x+c這條直線移動的；當b變化時，二次函數圖像頂點軌跡是沿拋物線y=c-ax2移動；當c變化時，頂點橫坐標不變，在直線x=-b2a上移動.

三、交點式y=a(x-x1)(x-x2)中各常數對圖像頂點軌跡的影響

1.在y=ax2+bx+c中，當Δ=b2-4ac≥0時，二次函數圖像與x軸有交點x1，x2；

當Δ=0時，x1=x2，y=a(x-x1)2，此時，圖像與x軸只有一個交點（x1，0），即二次函數圖像的頂點；

當Δ>0時，方程ax2+bx+c=0，有兩個不相等的實數根x1

y=a(x-x1)(x-x2)

=a［x2-(x1+x2)x+x1x2］

=ax2-(x1+x2)x+x1+x222+ax1x2-ax1+x222

=ax2-(x1+x2)x+x1+x222+a4x1x2-(x1+x2)24

=ax2-(x1+x2)x+x1+x222+ a4x1x2-x21-x22-2x1x24

=ax-x1+x222-a(x1-x2)24.

此時二次函數圖像頂點為x1+x22，-a(x1-x2)24；當a改變時，圖像頂點橫坐標不變，圖像頂點沿x=x1+x22這條直線移動；當a>0時，頂點縱坐標y<0，此時頂點在x軸下方；當a>0時，頂點縱坐標y>0，此時頂點在x軸上方.

2.綜上所述，當y=ax2+bx+c中，Δ=b2-4ac≥0時，二次函數圖像與x軸有交點.此時y=a(x-x1)(x-x2)，頂點為x1+x22，-a(x1-x2)24.并且當a>0時，開口向上，頂點在x軸下方；當a<0時，開口向下，頂點在x軸上方.

四、結束語

本文針對二次函數圖像教學過程中存在的不完整性，提出了關于二次函數頂點軌跡的研究.主要考慮了在二次函數不同表達式中的系數對于頂點軌跡的影響，完善了二次函數圖像的討論.在推導過程中使用的方法均未超出初等數學方法，適應于中學生的學習水平與接受能力.通過觀察函數圖像的特征，用自己的思維方式探究和解決問題，使自己掌握的知識得以深化和提高.打破了傳統教學中強調學生接受學習，被動接受知識，死記硬背機械訓練的狀況，提倡學生主動參與、合作交流，在探究中獲取新知識、新信息.

【參考文獻】

劉謙，孫曉天.數學課程標準解讀.北京：北京師范大學出版社.

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