驗(yàn)證“圖的僅需色數(shù)定理”的證明方法

【摘要】本文續(xù)接《從地圖的形成原理看“圖論”證明方法的缺陷》一文，對(duì)現(xiàn)實(shí)中如何驗(yàn)證“圖的僅需色數(shù)定理（即‘L＝C2n的n＝S’）”的正確性，提出了正確的證明方法，著重于對(duì)平（球）體表面的圖的僅需色數(shù)（即四色猜想）進(jìn)行了驗(yàn)證證明.將四色猜想命題設(shè)定為C5N組合模式并作為被驗(yàn)證體，以現(xiàn)實(shí)中地圖的C5N組合模式為驗(yàn)證依據(jù).證明結(jié)果表明，C5N組合模式中每一個(gè)組合的5個(gè)元素（即面）至少存在1對(duì)不相鄰的2個(gè)面，均僅需≤4色區(qū)分，從而證明四色猜想成立.

【關(guān)鍵詞】四色猜想；地圖；C5N組合模式；C2N組合模式；組合原理；僅需色數(shù)；驗(yàn)證

在《從地圖的形成原理看“圖論”證明方法的缺陷》一文（見(jiàn)《數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究》2011年第5期）中，筆者根據(jù)“物體表面的全相鄰力（以‘L’表示）”與“圖的相鄰面的組合力的極限數(shù)（以‘C2n’表示）”與“圖的僅需色數(shù)（以‘S’表示）”三者的關(guān)系，求得“圖的僅需色數(shù)定理：L＝C2n的n＝S”，得出答案：“四色猜想命題之所以成立，是在于平（球）體表面的全相鄰力最多只能做到使‘4個(gè)面’全相鄰（即L=4），其圖的相鄰面的組合力的極限數(shù)為C24（即C2n的n=4）.”那么，以現(xiàn)實(shí)的圖來(lái)說(shuō)，如何驗(yàn)證“圖的僅需色數(shù)定理”的正確性呢？為此，本文就這一問(wèn)題作出解答，并著重于對(duì)平（球）體表面的圖的僅需色數(shù)（即四色猜想）進(jìn)行驗(yàn)證證明.

1.驗(yàn)證“圖的僅需色數(shù)定理”的證明方法

定義 分劃法、圖的組合模式、物體表面的全相鄰力、圖的相鄰面的組合力詳見(jiàn)《從地圖的形成原理看“圖論”證明方法的缺陷》（以下簡(jiǎn)稱“《缺陷》”）一文.

在《缺陷》一文中講到，物體表面的全相鄰力是應(yīng)用分劃法對(duì)物體表面進(jìn)行有意識(shí)的分劃而求得的.驗(yàn)證“圖的僅需色數(shù)定理”的證明方法，就是根據(jù)分劃法求得的結(jié)果，應(yīng)用數(shù)學(xué)組合原理，將圖的僅需色數(shù)命題（即n色猜想命題）設(shè)定為CmN組合模式（即在應(yīng)用分劃法的前提下，以該物體表面被分劃為幾個(gè)面時(shí)出現(xiàn)“不相鄰的兩個(gè)面”的“幾”為m，將該物體表面的圖的僅需色數(shù)命題設(shè)定為從N個(gè)元素中任意取出m個(gè)元素為一個(gè)組合的整體，即CmN組合模式），并作為被驗(yàn)證體，以現(xiàn)實(shí)中的圖的C2N組合模式不相鄰的2個(gè)元素（即面）為驗(yàn)證依據(jù)，對(duì)命題的CmN組合模式中每一個(gè)組合進(jìn)行驗(yàn)證.顯然，CmN組合模式中每一個(gè)組合均為一個(gè)Cmm組合，m個(gè)元素則需m種色區(qū)分，如CmN組合模式中每一個(gè)組合的m個(gè)元素（即面）都存在不相鄰的2個(gè)（或2個(gè)以上）元素，那么表明每一個(gè)組合的m個(gè)元素均有2個(gè)（或2個(gè)以上）元素可著同1色，那么“m－2－1≤n（色）”，每一個(gè)組合的m個(gè)元素均僅需≤n色區(qū)分，從而證明n色區(qū)分成立；如CmN組合模式中有一個(gè)（或多個(gè)）組合不存在不相鄰的面，那么表明此個(gè)組合需m色區(qū)分，因m＞n（色），從而證明n色區(qū)分不成立.

現(xiàn)對(duì)平（球）體表面的圖的僅需色數(shù)（即四色猜想）進(jìn)行驗(yàn)證證明.

2.驗(yàn)證平（球）體表面的圖的僅需色數(shù)的證明方法

第一步 將四色猜想命題設(shè)定為C5N組合模式并作為被驗(yàn)證體.

筆者在《缺陷》一文應(yīng)用分劃法求證到平（球）體表面當(dāng)被分劃到第四步、被分劃為5個(gè)面時(shí)，不能做到使5個(gè)面全相鄰，必定出現(xiàn)不相鄰的2個(gè)面.這個(gè)證明結(jié)果清楚地告訴我們，展現(xiàn)在平（球）體表面的地圖中的任何“5個(gè)面”都不能做到彼此之間均相鄰，必定存在不相鄰的2個(gè)面.又我們知道，對(duì)四色猜想命題的證明，實(shí)際上是對(duì)平（球）體表面的面的數(shù)量（以“N”表示）為5個(gè)以上（即N≥5）的圖作出證明.根據(jù)這些已知條件，可將四色猜想命題（即平、球體表面的圖的僅需色數(shù)）設(shè)定為從N個(gè)元素中任意取出5個(gè)元素為一個(gè)組合的整體，即為C5N組合模式，見(jiàn)圖1.

圖 1

毫無(wú)疑問(wèn)，在這個(gè)C5N組合模式中，相對(duì)于由N個(gè)元素（即面）組成的圖來(lái)說(shuō)，不論其面與面之間的關(guān)系如何，其任意取出5個(gè)元素的組合則是窮舉的.如由5個(gè)面組成的圖，僅有“12345”一個(gè)組合；由6個(gè)面組成的圖，共有“12345，12346，12356，12456，13456，23456”6個(gè)組合；由7個(gè)面組成的圖共有21個(gè)組合（詳見(jiàn)圖1）.我們把這個(gè)C5N組合模式作為被驗(yàn)證體，以現(xiàn)實(shí)中的圖的C2N組合模式為驗(yàn)證依據(jù)，對(duì)四色猜想能否成立進(jìn)行證明.

第二步 以現(xiàn)實(shí)中的圖的C2N組合模式為驗(yàn)證依據(jù).

筆者在《缺陷》一文求證到，地圖的結(jié)構(gòu)模式是C2N組合模式.這個(gè)C2N組合模式，準(zhǔn)確、真實(shí)地記錄了地圖的各面彼此之間相鄰關(guān)系和非相鄰關(guān)系情況.為此，將現(xiàn)實(shí)中的圖的面與面之間的關(guān)系以C2N組合模式表達(dá)出來(lái)（如圖2），并以此為依據(jù)，對(duì)命題的C5N組合模式中每一個(gè)組合進(jìn)行驗(yàn)證.如C5N組合模式中每一個(gè)組合的5個(gè)元素（即面）都存在不相鄰的2個(gè)（或2個(gè)以上）元素，那么表明每一個(gè)組合的5個(gè)元素均有2個(gè)（或2個(gè)以上）元素可著同1色，均僅需≤4色區(qū)分，從而證明4色區(qū)分成立；如C5N組合模式中有一個(gè)（或多個(gè)）組合不存在不相鄰的面，那么表明此個(gè)組合需5色區(qū)分，從而證明4色區(qū)分不成立.現(xiàn)舉實(shí)例證明

例證1 圖2是由5個(gè)面組成的圖.從圖1的C5N組合模式中知道，由5個(gè)面組成的圖僅有“12345”一個(gè)組合.從圖2的C2N組合模式中看出，圖2的5個(gè)面中只存在3與5兩個(gè)面不相鄰.由此可見(jiàn)，圖2的5個(gè)面中3與5兩個(gè)面不相鄰，可著同1色.驗(yàn)證結(jié)果，圖2的“12345”5個(gè)元素（即圖2的5個(gè)面）僅需4色區(qū)分，其四色區(qū)分成立.

圖2及其合模式

例證2 圖3是由6個(gè)面組成的圖.從圖1的C5N組合模式中知道，由6個(gè)面組成的圖共有6個(gè)組合（略）.從圖3的C2N組合模式中看出，圖3的6個(gè)面中存在3對(duì)不相鄰的兩個(gè)面：2與4，2與5，3與5.

圖3及其合模式

現(xiàn)對(duì)圖3的6個(gè)組合的5個(gè)元素予以驗(yàn)證：

“12345”、“12456”、“23456”3組5個(gè)元素均存在“2與4、2與5”2對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，均僅需4色區(qū)分；

“12346”5個(gè)元素只存在“2與4”1對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需4色區(qū)分；

“12356”5個(gè)元素存在“2與5、3與5”2對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需4色區(qū)分；

“13456”5個(gè)元素只存在“3與5”1對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需4色區(qū)分.

驗(yàn)證結(jié)果，圖3的C5N組合模式中共有6個(gè)組合，其每個(gè)組合的5個(gè)元素至少存在1對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，均僅需4色區(qū)分，圖3的6個(gè)面僅需4色區(qū)分，其四色區(qū)分成立.

例證3 圖4是由7個(gè)面組成的圖.從圖1的C5N組合模式中知道，由7個(gè)面組成的圖共有21個(gè)組合（略）.從圖4的C2N組合模式中看出，圖4的7個(gè)面中存在6對(duì)不相鄰的兩個(gè)面：1與5，2與6，3與5，3與6，3與7，4與7.現(xiàn)對(duì)圖4的21個(gè)組合的5個(gè)元素進(jìn)行驗(yàn)證：

圖4及其合模式

“12345”5個(gè)元素存在“1與5、3與5”2對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需4色區(qū)分；

“12346”5個(gè)元素存在“2與6、3與6”2對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需4色區(qū)分；

“12347”5個(gè)元素存在“3與7、4與7”2對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需4色區(qū)分；

“12356”5個(gè)元素存在“1與5、3與5、3與6”3對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需3色區(qū)分；

“12357”5個(gè)元素存在“1與5、3與5、3與7”3對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需3色區(qū)分；

“12367”5個(gè)元素存在“2與6、3與6、3與7”3對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需3色區(qū)分；

“12456”5個(gè)元素存在“1與5、2與6”2對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需3色區(qū)分；

“12457”5個(gè)元素存在“1與5、4與7”2對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需3色區(qū)分；

“12467”5個(gè)元素存在“2與6、4與7”2對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需3色區(qū)分；

“12567”5個(gè)元素存在“1與5、2與6”2對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需3色區(qū)分；

“13456”5個(gè)元素存在“1與5、3與6”2對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需3色區(qū)分；

“13457”5個(gè)元素存在“1與5、3與7”2對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需3色區(qū)分；

“13467”5個(gè)元素存在“3與6、3與7、4與7”3對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需3色區(qū)分；

“13567”5個(gè)元素存在“1與5、3與5、3與6、3與7”4對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需3色區(qū)分；

“14567”5個(gè)元素存在“1與5、4與7”2對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需3色區(qū)分；

“23456”5個(gè)元素存在“2與6、3與5、3與6”3對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需3色區(qū)分；

“23457”5個(gè)元素存在“3與5、3與7、4與7”3對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需3色區(qū)分；

“23467”5個(gè)元素存在“2與6、3與6、3與7、4與7”4對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需3色區(qū)分；

“23567”5個(gè)元素存在“2與6、3與5、3與6、3與7”4對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需3色區(qū)分；

“24567”5個(gè)元素存在“2與6、4與7”2對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需3色區(qū)分；

“34567”5個(gè)元素存在“3與5、3與6、3與7、4與7”4對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，僅需3色區(qū)分.

驗(yàn)證結(jié)果，圖4的C5N組合模式中共有21個(gè)組合，其每個(gè)組合的5個(gè)元素至少存在1對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，均僅需≤4色區(qū)分，圖4的7個(gè)面僅需4色區(qū)分，其四色區(qū)分成立.

綜合圖2至圖4的證明，由5個(gè)面組成的圖，其C5N組合模式中僅有1個(gè)組合，其1個(gè)組合的5個(gè)元素存在1對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，其5個(gè)面僅需4色區(qū)分，其四色區(qū)分成立；由6個(gè)面組成的圖，其C5N組合模式中共有6個(gè)組合，其每一個(gè)組合的5個(gè)元素至少存在1對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，均僅需≤4色區(qū)分，其6個(gè)面僅需4色區(qū)分，其四色區(qū)分成立；由7個(gè)面組成的圖，其C5N組合模式中共有21個(gè)組合，其每一個(gè)組合的5個(gè)元素至少存在1對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，均僅需≤4色區(qū)分，其7個(gè)面僅需4色區(qū)分，其四色區(qū)分成立.依照歸納法得.

結(jié)論 平（球）體表面的圖，不論其面的數(shù)量是多少，其C5N組合模式中每一個(gè)組合的5個(gè)元素至少存在1對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，均僅需≤4色區(qū)分，其N(xiāo)個(gè)面僅需4色區(qū)分，因此，四色猜想成立.此證.

同樣，環(huán)體（即輪胎體）表面的圖僅需5色區(qū)分，則為五色猜想命題.經(jīng)應(yīng)用分劃法求證到環(huán)體表面當(dāng)被分劃到第五步、被分劃為6個(gè)面時(shí)，不能做到使6個(gè)面全相鄰，必定出現(xiàn)不相鄰的2個(gè)面，那么，據(jù)此，將五色猜想命題設(shè)定為一個(gè)從N個(gè)元素中任意取出6個(gè)元素為一個(gè)組合的整體（即為C6N組合模式），然后以現(xiàn)實(shí)中的圖的C2N組合模式中“不相鄰的兩個(gè)面”為依據(jù)，對(duì)命題的C6N組合模式中每一個(gè)組合的6個(gè)元素進(jìn)行驗(yàn)證.驗(yàn)證結(jié)果表明，環(huán)體表面的圖，不論其面的數(shù)量是多少，其C6N組合模式中每一個(gè)組合的6個(gè)元素至少存在1對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，均僅需≤5色區(qū)分，其N(xiāo)個(gè)面僅需5色區(qū)分，因此，五色猜想成立.

同樣，丁環(huán)體表面的圖僅需6色區(qū)分，則為六色猜想命題.經(jīng)應(yīng)用分劃法求證到環(huán)體表面當(dāng)被分劃到第六步、被分劃為7個(gè)面時(shí)，不能做到使7個(gè)面全相鄰，必定出現(xiàn)不相鄰的2個(gè)面，那么，據(jù)此，將六色猜想命題設(shè)定為一個(gè)從N個(gè)元素中任意取出7個(gè)元素為一個(gè)組合的整體（即為C7N組合模式），然后以現(xiàn)實(shí)中的圖的C2N組合模式中“不相鄰的兩個(gè)面”為依據(jù)，對(duì)命題的C7N組合模式中每一個(gè)組合的7個(gè)元素進(jìn)行驗(yàn)證.驗(yàn)證結(jié)果表明，丁環(huán)體表面的圖，不論其面的數(shù)量是多少，其C7N組合模式中每一個(gè)組合的7個(gè)元素至少存在1對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，均僅需≤6色區(qū)分，其N(xiāo)個(gè)面僅需6色區(qū)分，因此，六色猜想成立.

同樣，8字連環(huán)體表面的圖僅需7色區(qū)分，則為七色猜想命題.經(jīng)應(yīng)用分劃法求證到環(huán)體表面當(dāng)被分劃到第七步、被分劃為8個(gè)面時(shí)，不能做到使8個(gè)面全相鄰，必定出現(xiàn)不相鄰的2個(gè)面，那么，據(jù)此，將七色猜想命題設(shè)定為一個(gè)從N個(gè)元素中任意取出8個(gè)元素為一個(gè)組合的整體（即為C8N組合模式），然后以現(xiàn)實(shí)中的圖的C2N組合模式中“不相鄰的兩個(gè)面”為依據(jù)，對(duì)命題的C8N組合模式中每一個(gè)組合的8個(gè)元素進(jìn)行驗(yàn)證.驗(yàn)證結(jié)果表明，8字連環(huán)體表面的圖，不論其面的數(shù)量是多少，其C8N組合模式中每一個(gè)組合的8個(gè)元素至少存在1對(duì)不相鄰的兩個(gè)面，均僅需≤7色區(qū)分，其N(xiāo)個(gè)面僅需7色區(qū)分，因此，七色猜想成立.

3.需說(shuō)清楚的幾個(gè)問(wèn)題

其一，“L＝C2n的n＝S”是“物體表面的圖僅需著色種數(shù)”的基本定理，而本文的證明方法是驗(yàn)證此基本定理的正確方法.

其二，關(guān)于圖的“不相鄰的兩個(gè)面”能否窮舉之問(wèn)題.對(duì)此，我的答案是，相對(duì)于物體表面可展示的圖來(lái)說(shuō)，根據(jù)數(shù)學(xué)的組合原理，圖的“不相鄰的兩個(gè)面”肯定能窮舉.因?yàn)椋安幌噜彽膬蓚€(gè)面”乃是C22組合，窮舉“不相鄰的兩個(gè)面”，即是窮舉C2N組合模式中的各組組合（見(jiàn)圖5）.如由5個(gè)面組成的圖，從圖5看出，不論其面與面之間的關(guān)系多么復(fù)雜，其“不相鄰的兩個(gè)面”走不出C25組合模式中的10個(gè)組合之內(nèi)；如由6個(gè)面組成的圖，其“不相鄰的兩個(gè)面”肯定走不出C27組合模式中的15個(gè)組合之內(nèi)，其余亦然.

圖 5

其三，本人的研究結(jié)果表明，圖的面的數(shù)量（N）與圖的“不相鄰的兩個(gè)面”對(duì)數(shù)兩者關(guān)系成正比，即N越大，出現(xiàn)“不相鄰的兩個(gè)面”的對(duì)數(shù)就越多，甚至有可能出現(xiàn)某個(gè)組合的m個(gè)元素彼此之間均為“不相鄰的兩個(gè)面”之情況.這也就是說(shuō)，N越大，其圖的“不相鄰的兩個(gè)面”著同一色的調(diào)節(jié)空間也就越大.

其四，四色猜想命題的破解，實(shí)際上是對(duì)“四色”這個(gè)“僅需著色種數(shù)”作出證明，并非是對(duì)在“四色”的前提下圖的各面如何著色使之成立的證明.而筆者看到的有關(guān)四色猜想命題的證明，都屬于后者此類的證明.就研究四色猜想命題而言，人們不僅未能走出“面的數(shù)量”這個(gè)“怪圈”，而且也未能跳出“如何著色”這個(gè)“誤區(qū)”.

其五，地圖的結(jié)構(gòu)模式是C2N組合模式，決不是排列模式，地圖的區(qū)域與區(qū)域之間的關(guān)系是組合關(guān)系，決不是排列關(guān)系.因此，四色猜想命題不屬于“真的機(jī)器證明之命題”.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文