例談“1”在不定積分計算中的應用

【摘要】不定積分的計算題型靈活多樣，技巧性強，本文通過例題，談談“1”在求不定積分計算中的應用，從而簡化不定積分的計算.

【關鍵詞】不定積分；計算；分拆

高職數學教材中介紹了求不定積分的常用方法——直接積分法、換元積分法、分部積分法.但是不定積分的計算題型靈活多樣，技巧性強，學生在計算有些不定積分時，還是感到難以順利求解.本文將結合教學實踐來談談“1”在求不定積分計算中的應用.

一、減“1”加“1”

一般情況下，求某些有理分式的積分，可先給分子減“1”后加“1”，或先加“1”后減“1”，然后分拆積分，再逐項求積分.對有些不定積分，可直接減“1”后加“1”.

例1 求∫x21+xdx.

解 原式=∫x21+xdx=∫x2-1+11+xdx

=∫(x-1)+11+xdx

=12x2-x+ln|1+x|+C.

例2 求∫x3(x-1)100dx.

解 原式=∫［(x-1+1)］3(x-1)100dx

=∫(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1(x-1)100dx

=∫1(x-1)97dx+∫3(x-1)98dx+∫3(x-1)97dx+ ∫1(x-1)100dx

=-196(x-1)96-397(x-1)97-398(x-1)98- 199(x-1)99+C.

二、利用公式“1=sin2x+cos2x”

例3 ∫1-sin2xdxπ2≤x≤π.

解 原式=∫sin2x+cos2x-2sinxcosxdx

=∫(sinx-cosx)2dx

=∫(sinx-cosx)dx

=-cosx-sinx+C.

例4 求∫1sinxcos4xdx.

解 原式=∫sin2x+cos2xsinxcos4xdx

=∫sinxcos4dx+∫1sinxcos2xdx

=-∫1cos4xd(cosx)+∫sin2x+cos2xsinxcos2xdx

=13cos3x+∫sinxcos2xdx+∫1sinxdx

=13cos3x+1cosx+lntanx2+C.

小結 對于形如∫1sinmxcosnxdx(m>0，n>0)的不定積分，一般的思路是：將被積函數中分子的“1”恒等變形為1=sin2x+cos2x或1=(sin2x+cos2x)k，k為正整數.

三、將1適當分拆

在某些積分中，將1適當分拆成幾項之和，可以簡化不定積分的計算.

例5 求∫x+1x2+x+1dx.

分析 分子中的“1”分拆為“12+12”，然后再利用換元積分法求解.

解 原式=∫x+12+12x2+x+1dx

=∫x+12x2+x+1dx+∫12x2+x+1dx

=12∫1x2+x+1d(x2+x+1)+ ∫1x+122+322dx+12

=12ln(x2+x+1)+13arctan2x+13+C.

例6 求∫1x(x6+1)dx.

分析 將“1”分拆為“(1+x6)-x6”，然后利用公式求解.

解 原式=∫1+x6-x6x(x6+1)dx

=∫1xdx-∫x5x6+1dx

=ln|x|-16∫1x6+1d(x6+1)

=ln|x|-16ln|x6+1|+C.

以上歸納的是幾種常用的“1”的變形，除此之外，不定積分中“1”的變形還有其他許多形式.因此，在計算不定積分時，需要不斷地思考和總結，才能在解題時做到得心應手.

【參考文獻】

［1］樊廬生.函數式的恒等變形在不定積分中的應用.工科數學，1996(1).

［2］彭雪.一類不定積分的解法研究.中國科技信息，2009(6).

［3］吉米多維奇.吉米多維奇數學分析習題全解.安徽人民出版社，2010.

［4］張天德.微積分輔導及習題精解.新華出版社，2010.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文