《函數(shù)的零點》的教學(xué)設(shè)計

【摘要】本教學(xué)設(shè)計根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，以低起點、小坡度為指導(dǎo)思想，從一元二次方程入手，逐層深入設(shè)計了《函數(shù)的零點》的教學(xué)過程.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)零點；教學(xué)設(shè)計

一、學(xué)情分析

附中的學(xué)生大多數(shù)是學(xué)習(xí)藝術(shù)的，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對比較薄弱，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力差，但學(xué)習(xí)欲望較強，有積極向上的美好愿望.

二、教學(xué)過程設(shè)計

1.問題情境

問題1 方程lgx+x-3=0是否有實數(shù)根？

設(shè)計意圖 讓學(xué)生了解本堂課面臨的問題和學(xué)習(xí)要達(dá)到的高度，充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

2.學(xué)生活動

問題1 方程x2+6x+4=0是否有實數(shù)根？若有實數(shù)根是什么？

問題2 作函數(shù)y=x2-2x-3的圖像，根據(jù)圖像指出函數(shù)與x軸交點坐標(biāo)是什么.

設(shè)計意圖 從學(xué)生最熟悉的二次函數(shù)和二次方程入手，引出函數(shù)的零點的概念.體現(xiàn)低起點的特點.

3.建構(gòu)數(shù)學(xué)

（1）函數(shù)的零點：對于函數(shù)y＝f(x)，把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點.

思考 ①函數(shù)的零點與方程的根、函數(shù)圖像之間有什么聯(lián)系?

②函數(shù)的零點是點嗎?

設(shè)計意圖 通過思考可以進(jìn)一步理解零點的含義，并能正確地區(qū)分零點與點.

練習(xí)1 求下列函數(shù)的零點.

（1）y=x3-8；（2）y=(x-1)(x+1)(x-3)；（3）y=x2+5x-6.

設(shè)計意圖 加強并檢驗學(xué)生對零點的理解.

練習(xí)2 若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［1，10］上連續(xù)，且f(1)=-4，f(10)=8，嘗試作出函數(shù)y=f(x)的一個圖像.

設(shè)計意圖 通過開放性的題型，不僅可以充分打開學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，又可以生動自然地引入零點存在定理.

（2）零點存在定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a，b］上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)#8226;f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使f(c)=0，這個c就是方程f(c)=0的根，也就是函數(shù)的零點，一般還可將其表示為x0.

思考 ①若函數(shù)在所給的區(qū)間上不連續(xù)，結(jié)論還成立嗎？

②若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a，b）上有零點，一定有f(a)f(b)<0嗎？

③若函數(shù)y=f(x)滿足定理的條件，那么它在區(qū)間（a，b）上零點的個數(shù)有多少？

練習(xí) 函數(shù)f(x)=x3+3x-1在區(qū)間（0，1）上有零點嗎？

設(shè)計意圖 通過學(xué)生的討論，分析定理中各條件的作用，加深對定理的理解，使學(xué)生明確這個定理只是一個判定條件，滿足條件一定有零點，不滿足條件未必就沒有零點.

4.數(shù)學(xué)運用

例 判斷函數(shù)y=lgx+x-3=0是否有零點.

變式 （1）函數(shù)y=lgx+x-3=0有零點的區(qū)間是（k，k+1），則整數(shù)k的值為.

（2）函數(shù)y=lgx+x-3=0的零點的個數(shù)為.

（3）方程lgx=x-3的根的個數(shù)是.

思考 除了代入數(shù)后逐個驗證，是否有其他方法？

設(shè)計意圖 拓展學(xué)生思維，引入圖像法.

練習(xí) （1）判斷函數(shù)f(x)=x5+3x-2是否有零點.

（2）f(x)=xlgx-1有零點的區(qū)間為(k，k+1)，則整數(shù)k的值為.

（3）方程3x+log2x=0在［0.25，1］內(nèi)的實數(shù)根的個數(shù)為.

5.回顧小結(jié)

（1）函數(shù)零點的概念；

（2）函數(shù)零點和方程的根的關(guān)系；

（3）函數(shù)零點存在定理.

設(shè)計意圖 通過小結(jié)，理清思路，歸納總結(jié)，更好地掌握知識技能，理解數(shù)學(xué)思想方法，豐富解決問題的經(jīng)驗，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力.

6.課外作業(yè)

課本第81頁題1，2.

7.設(shè)計反思

通過低起點、小坡度，由淺入深，由特殊到一般的階梯式問題，有效地降解了本課的難點，幫助學(xué)生實現(xiàn)了思維的騰飛.美中不足的是由于藝術(shù)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，學(xué)習(xí)能力較弱，一些思想方法不能過多展開，例如數(shù)形結(jié)合與抽象思維.函數(shù)與方程相聯(lián)系的觀點的建立，函數(shù)應(yīng)用的意識的初步樹立，應(yīng)該是本節(jié)課必須承載的重要任務(wù).在這一任務(wù)的達(dá)成度方面，本課還需更加濃墨重彩的予以突出.另外，課堂上教師怎樣引導(dǎo)藝術(shù)學(xué)生也是今后教學(xué)中努力的方向.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文