利用樹(shù)圖法解排列題

樹(shù)圖法是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理交替使用的一種解題策略，用“樹(shù)圖”表示所有的排列，一目了然，便于操作，便于分析計(jì)數(shù)，避免了重復(fù)或遺漏.借助“樹(shù)圖”直觀地分析問(wèn)題是常用的計(jì)數(shù)手段之一.今舉幾例，加以說(shuō)明.

例1 如圖所示，設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸跳動(dòng)，每次向正方向或負(fù)方向跳一個(gè)單位，經(jīng)過(guò)五次跳動(dòng)質(zhì)點(diǎn)落在（3，0）（允許重復(fù)過(guò)此點(diǎn)）處，則質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動(dòng)方法共有種（用數(shù)字作答）.

解 如圖，A（1，0），B（2，0），C（3，0），D（4，0），A′（-1，0）.

經(jīng)過(guò)路徑：O→A→O→A→B→C，

O→A→B→A→B→C，

O→A→B→C→B→C，

O→A→B→C→D→C，

O→A′→O→A→B→C.

∴共5種方法.

評(píng)注 本題根據(jù)樹(shù)狀圖求解，思路正確，方法得當(dāng)，順其自然，使問(wèn)題化難為易，迎刃而解.

例2 同室四人各寫(xiě)一張賀年卡，先集中起來(lái)，然后從中拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有（）.

A.6種

B.9種

C.11種

D.23種

解 設(shè)四張賀卡分別記為A，B，C，D，由題意，某人（不妨設(shè)為A）取卡的情況有3種，據(jù)此將賀卡的不同分配方式分為3類，對(duì)于每一類其他人依次取卡分步進(jìn)行.為了避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象，采用樹(shù)圖法，所有排列如下:

BA—D—CC—D—AD—A—C

CA—D—BD—A—BD—B—A

DA—B—CC—A—BC—B—A

∴共有9種不同的分配方式，因此答案選B.

評(píng)注 本例是一個(gè)典型的“錯(cuò)位問(wèn)題”模型，此題原有多種解法，但都不如此法直觀、形象.

例3 某天上午要排數(shù)學(xué)、物理、英語(yǔ)、化學(xué)四門不同的學(xué)科，若第一節(jié)排數(shù)學(xué)或第四節(jié)排物理，問(wèn)：一共有多少種不同的排法？

解 用數(shù)、物、英、化分別表示數(shù)學(xué)、物理、英語(yǔ)、化學(xué).

數(shù)學(xué)排在上午第一節(jié)的所有排列：

數(shù)→物—英—化

→物—化—英

→英—物—化

→英—化—物

→化—物—英

→化—英—物

數(shù)學(xué)不排上午第一節(jié)，物理排第四節(jié)的所有排列：

英→數(shù)—化—物→化—數(shù)—物

化→數(shù)—英—物→英—數(shù)—物

6+2+2=10，∴以上一共有10種不同排法.

評(píng)注 此題關(guān)鍵在于正確的分成以上兩類.當(dāng)然此題還有其他的解法，不過(guò)用樹(shù)圖法來(lái)解仍不失為一種可行的方法.

通過(guò)以上幾個(gè)具體的例子，不難看出，樹(shù)圖法的確是解決排列問(wèn)題的有力武器，它具有直觀形象、不重不漏、便于操作的特點(diǎn)，而且解題過(guò)程耐人尋味，并具有一定的趣味性.但此法具有很強(qiáng)的針對(duì)性和一定的局限性，不再贅述.

以下兩題，供讀者練習(xí)：

1.在A，B，C，D四位候選人中，如果選舉正、副班長(zhǎng)各一人，共有幾種選法：

2.A，B，C，D四名學(xué)生排成一列，從左到右，A不排第一，B不排第二，C不排第三，D不排第四，共有幾種排法？

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文