運用類比法解題的分類解析

波利亞說：“所謂類比就是指明類似的關(guān)系.”他又說：“類比是一個偉大的引路人.”法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯說得一針見血，“在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比！”這些大師的話說明了類比在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性.在人民教育出版社課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心編著的選修2-2的第二章對推理和證明進(jìn)行了專門論述.通過兩輪對這套實驗教材的使用，筆者越來越感到《推理和證明》一章學(xué)習(xí)的重要性.讓學(xué)生充分了解合情推理的含義，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異，利用歸納和類比等方法進(jìn)行簡單的推理，能夠有力培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的觀察、猜測、抽象、概括、證明的能力.通過類比能夠使學(xué)生正確進(jìn)行數(shù)學(xué)知識的遷移、組合、融會.下面是筆者收集的一些可借助類比思想方法解決的典型題目，對它們進(jìn)行了梳理，以供讀者參考.

一、類比概念解題

例1 （人教A版選修2-2習(xí)題2.1A組第5題）在等差數(shù)列{an}中，若a10=0，則有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19且n∈N*)成立.類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則存在怎樣的等式？

分析 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比，形成類比的方面有：等差數(shù)列用減法定義，性質(zhì)用加法表述；等比數(shù)列用除法定義，性質(zhì)用乘法表述.觀察題目的條件，學(xué)生通過類比發(fā)現(xiàn)a1+a19=2a10，b1#8226;b17=b29.在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，由于對等差數(shù)列和等比數(shù)列概念理解不到位，不少同學(xué)得到錯誤的結(jié)論：b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b19-n(n<19且n∈N*)，實際上正確的結(jié)論是b1#8226;b2#8226;…#8226;bn=b1#8226;b2#8226;…#8226;b17-n(n<17且n∈N*).

我們可將此結(jié)論進(jìn)行推廣：

在等差數(shù)列{an}中，若ak=0，有an+1+a2k-1-n=an+1+a2k-2-n=…=ak+ak=0.所以有a1+a2+…+an=a1+a2+…+an+(an+1+an+2+…+a2k-2-n+a2k-1-n)(n<2k-1，∈N*).從而在等比數(shù)列{bn}中，如果bk=1，則有等式：b1#8226;b2#8226;…#8226;bn=b1#8226;b2#8226;…#8226;bn#8226;bn+1#8226;bn+2#8226;…#8226;b2k-1-n(n<2k-1，n∈N*）成立.

評注 理解并掌握概念的本質(zhì)是解答此類題目的關(guān)鍵，數(shù)學(xué)中許多概念有類似的地方，把兩個數(shù)學(xué)概念特別是新舊概念進(jìn)行類比，可以更好地理解概念的內(nèi)涵與外延，進(jìn)一步促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的形成和同化.

二、類比新舊知識解題

例2 將集合{2t+2s|0≤s

分析 根據(jù)題目條件，將元素按從小到大的順序列出3，5，6，9，10，…，但很難發(fā)現(xiàn)其規(guī)律性.如果我們能類比熟悉的楊輝三角形，將集合{2t+2s|0≤s

21+20

22+20 22+21

23+20 23+21 23+22

24+20 24+21 24+22 24+23

……

它們中間的指數(shù)非常有規(guī)律，第1行的第1個數(shù)由兩部分組成（21+20）；第2行的第1個數(shù)也是由兩部分組成（22+20），第2行的第2個數(shù)為22+21；依此規(guī)律，可得第n行的第k個數(shù)也是由兩部分組成（2n+2k-1）.通過計算第2011個數(shù)應(yīng)是第63行的第58個數(shù)，這個數(shù)的形式是263+257.這樣一道較難的題，通過類比楊輝三角形，答案就清楚了.

評注 在接觸到新的問題時，要經(jīng)常聯(lián)系舊知識，創(chuàng)造條件進(jìn)行類比，擴展解題思路，養(yǎng)成良好的類比推理的習(xí)慣，這樣既有利于理解、掌握新知識，還能使舊知識得到鞏固，同時拓寬視野.

三、類比信息解題

例3 在平面幾何中有如下特性：從角的頂點出發(fā)的一條射線上任意一點到角兩邊的距離之比為定值.類比上述性質(zhì)，請敘述在立體幾何中相應(yīng)的特性，將類比性質(zhì)敘述如下：.

分析 題目給出了高中生平時比較少接觸的平面幾何的信息，要求學(xué)生能將平面問題和空間問題進(jìn)行類比，此題關(guān)鍵要抓住三點：（1）將平面角類比成空間角，如二面角；（2）平面中的射線類比成空間的射線或半平面；（3）平面中的點類比成空間中的點.本題提供五個答案給讀者參考：

①從二面角的棱出發(fā)的一個半平面內(nèi)任意一點到二面角的兩個面的距離之比為定值.

②從二面角的棱上一點出發(fā)的一條射線上任意一點到二面角的兩個面的距離之比為定值.

③在空間，從角的頂點出發(fā)的一條射線上任意一點到角兩邊的距離之比為定值.

④在空間，射線OD上任意一點P到平面AOB，BOC，COA的距離之比不變.

⑤在空間，射線OD上任意一點P到射線OA，OB，OC的距離之比不變.

評注 信息遷移題有題意新穎、背景陌生、構(gòu)思巧妙的特點，能有效的考查學(xué)生的閱讀理解能力、探索能力、創(chuàng)新能力，備受高考命題專家的青睞.類比法是解決此類題目的一種重要的方法，值得關(guān)注.

四、類比數(shù)學(xué)思想方法解題

例4 設(shè)函數(shù)f(x)=12x+2，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式的方法，可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值為.

分析 此題不宜通過計算12個函數(shù)值來計算表達(dá)式的值，利用類比課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式的倒序相加法，即設(shè)

S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)，則

S=f(6)+f(5)+…+f(1)+…+f(-4)+f(-5).

容易知道要計算f(x)+f(1-x)的值：

∵f(x)=12x+2，

f(1-x)=121-x+2=2x2+2#8226;2x=12#8226;2x2+2x，

∴f(x)+f(1-x)=1+12#8226;2x2+2x=22.

發(fā)現(xiàn)f(x)+f(1-x)正好是一個定值，

∴2S=22×12，∴S=32.

評注 本題類比數(shù)列中重要的解題思想方法“倒序相加法”，以函數(shù)為載體，依托課本命題，在常見中求新意，要求學(xué)生能充分認(rèn)識到數(shù)列是特殊的函數(shù)，在類比的過程中要能通過計算發(fā)現(xiàn)f(x)+f(1-x)是一個定值（正如等差數(shù)列中的a1+an=a2+an-1=…）.

五、類比知識結(jié)構(gòu)解題

例5 （2010年江西理數(shù)第22題）證明以下命題：

(1)對任一正整數(shù)a，都存在整數(shù)b，c(b

(2)存在無窮多個互不相似的三角形△n，其邊長an，bn，cn為正整數(shù)，且a2n，b2n，c2n成等差數(shù)列.

分析 本題作為高考壓軸題，主要考查學(xué)生綜合分析問題的能力，學(xué)生平時比較少接觸到類似的題目，再加上高考的心理壓力，不少學(xué)生都覺得無從入手.第一問如果能考慮到要證的結(jié)果a2+c2=2b2，其結(jié)構(gòu)類似勾股定理a2+b2=c2，結(jié)合勾股數(shù)進(jìn)行拼湊，即迎刃而解；第二問結(jié)合第一問的結(jié)構(gòu)特征，將等差數(shù)列分解，通過一個可做多種結(jié)構(gòu)分解的因式說明構(gòu)成三角形，再證明互不相似，且無窮.

證明 （1）考慮其結(jié)構(gòu)特征，取特值12，52，72滿足等差數(shù)列，只需取b=5a，c=7a，對一切正整數(shù)a均能成立.

（2）當(dāng)a2n，b2n，c2n成等差數(shù)列，則b2n-a2n=c2n-b2n，分解得(bn+an)(bn-an)=(cn+bn)(cn-bn).

接下來是要通過分解式如何說明an，bn，cn可構(gòu)成三角形的三邊.選取關(guān)于n的一個多項式，4n(n2-1)做兩種途徑的分解：4n(n2-1)=(2n-2)(2n2+2n)=(2n2-2n)#8226;(2n+2).

對比目標(biāo)式，構(gòu)造an=n2-2n-1，bn=n2+1，cn=n2+2n-1，(n≥4)，由第一問結(jié)論，得等差數(shù)列成立，

考察三角形邊長關(guān)系，可構(gòu)成三角形的三邊.

下證互不相似：

任取正整數(shù)m，n，若△m，△n相似，則三邊對應(yīng)成比例：

m2-2m-1n2-2n-1=m2+1n2+1=m2+2m-1n2+2n-1.

由比例的性質(zhì)，得m-1n-1=m+1n+1m=n，與約定不同的值矛盾，故互不相似.

評注 解決此類問題的思維應(yīng)不拘一格，以發(fā)散的思維來觀察分析問題形式，兩個對象在表面上毫無共同之處，但通過觀察、創(chuàng)造條件，使兩者存在共同點，這種類比不是一種簡單的模仿，而是一種創(chuàng)造性.

六、注意解題科學(xué)性，防患不當(dāng)類比

例6 已知a為正常數(shù)，定義運算“”如下：對任意m，n∈N*，若mn=a，則(m+1)n=2a，m(n+1)=a+1.當(dāng)11=1時，則110=，510=.

分析 學(xué)生在運用類比思想解答本題時順利地解決了第一問（答案是10）.第二問，很多同學(xué)與第一問的算法一樣，得出了結(jié)論160.沒有想到本題出題者設(shè)了一個陷阱，誘導(dǎo)學(xué)生從第一問出發(fā)，只得到一個答案160，忽視了從11=1出發(fā)得到51=16，進(jìn)而得到510= 25 ，從而漏了一個正確答案.在運用類比方法解題時要考慮問題的多樣性和多向性，平時應(yīng)多加訓(xùn)練.下面再看一例：

例7 （1）設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax，x∈［1，+∞），若f(x)是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

（2）設(shè)數(shù)列{an}的通項an=n2+an，n∈N*，若{an}是遞增數(shù)列，求實數(shù)a的取值范圍.

分析 （1）∵f(x)是增函數(shù)，

∴f′(x)=2x+a≥0，即a≥-2x在［1，+∞)內(nèi)恒成立，

∴a≥-2.（本題也可通過二次函數(shù)的圖像得到）

（2）方法1：∵f′(n)=2n+a，f(n)在N*內(nèi)是增函數(shù)，

∴2n+a≥0，即a≥-2n在n∈N*時恒成立，∴a≥-2.

方法2：∵an+1-an=［(n+1)2+a(n+1)］-(n2+an)=2n+1+a>0，

∴a>-(2n+1)在N*時恒成立，∴a>-3.

顯然解（2）的方法1是類比解（1）得到的，所得結(jié)果不正確，解法2是由遞增數(shù)列的性質(zhì)得到，結(jié)果是正確的.事實上，由a≥-2n恒成立得到的a≥-2說明的是an在［1，+∞)上是增函數(shù)，而an在N*上是增函數(shù)，不要求在［1，+∞)上是增函數(shù).我們不妨取a=-52，這時an=n2-52n，an在［1，2］內(nèi)不是單調(diào)遞增的，但并不影響an在N*上的單調(diào)遞增性.所以在用類比方法解題時一定要注意類比的科學(xué)性，防患不當(dāng)類比.

評注 類比推理是根據(jù)兩個對象具有某些相同的屬性而推出當(dāng)一個對象具有一個另外的性質(zhì)時，另一個對象也具有這一性質(zhì)的一種推理方式.類比思想方法是一種大膽的猜想，富于創(chuàng)造的一種方法，但類比推理的結(jié)論具有或然性，既可能真，也可能假，不能把類比僅停留在敘述方式或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)等外層表象之上，還需要對數(shù)學(xué)結(jié)論的運算、推理過程等進(jìn)行類比分析，從解題的思想方法、思維策略等層面尋求內(nèi)在的關(guān)聯(lián).

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文