怎樣求平面直角坐標系中一個圖形的面積

有許多題目要求出平面直角坐標系中一個三角形或一個四邊形的面積，這時關鍵是求出這個三角形、四邊形的各個頂點的坐標.這是解這類問題的重要思路，下面舉兩個例題說明此類問題：

例1 已知一次函數y=-12x+2的圖像與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=ax2+bx+c經過點A，B，其對稱軸平行于y軸且在y軸的右側.

（1）當a=-12時，拋物線的頂點為M，與x軸的另一交點為N，求經過M，N兩點的一次函數的解析式.

（2）求四邊形AMBN的面積.

解 （1）可求得y=-12x+2與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B（0，2）.

當a=-12時，過A，B兩點的拋物線解析式為y=-12x2+32x+2.

令y=0，可求得x1=-1，x2=4，則N（-1，0），頂點M32，258，從而可得過M，N兩點的一次函數的解析式為y=54x+54.

（2）作ME⊥AN，E為垂足，則

ON=1，OB=2，OE=32，

ME=258，AE=52，

∴S=S△OBN+S梯形OEMB+S△AEM

=12×1×2+12×32×2+258+12×258×52

=1+12332+12532=834.

說明 本題要求四邊形AMBN的面積，則要把A，M，B，N各點坐標求出，然后再把不規則的四邊形分割成一些三角形、梯形等規則圖形，就可以求出它的面積了.

例2 已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點C，與x軸交于點A(x1，0)，B(x2，0)(x1

（1）求A，B兩點的坐標.

（2）求拋物線的解析式及點C的坐標.

（3）在拋物線上是否存在點P，使△PAB的面積等于四邊形ACMB的面積的2倍？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由.

解 （1）∵x1，x2是方程x2-2(m-1)x+m2-7=0的兩個根，

∴x1+x2=2(m-1)，x1x2=m2-7.

又 ∵x21+x22=10，∴(x1+x2)2-2x1x2=10.

∴［2(m-1)］2-2(m2-7)=10.

即m2-4m+4=0，解得m1=m2=2.

把m=2代入方程x2-2(m-1)x+m2-7=0，

得x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3.

∴點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（3，0）.

（2）拋物線與x軸的交點為A（-1，0），B（3，0），由對稱性可知，頂點M的橫坐標為1，則頂點M的坐標為（1，-4）.

∴a-b+c=0，9a+3b+c=0，a+b+c=-4，解得a=1，b=-2，c=-3.

∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3.

在y=x2-2x-3中，令x=0，得y=-3.

∴點C的坐標為（0，-3）.

（3）設拋物線的對稱軸與x軸交于點D，如圖.

則AO=OD=1，DB=2，OC=3，DM=4，AB=4.

∴S四邊形ACMB=S△AOC+S梯形OCMD+S△DMB

=12#8226;AO#8226;CO+12（CO+DM）#8226;OD+ 12DM#8226;DB

=12×1×3+12×(3+4)×1+12×2×4=9.

設P(x0，y0)為拋物線上一點，則S△PAB=12AB#8226;|y0|.

若S△PAB=2S四邊形ACMB，

則12AB#8226;|y0|=18，∴|y0|=9，y0=±9.

把y0=9代入y=x2-2x-3中，得

x2-2x-3=9，即x2-2x-12=0.

解得x1=1-13，x2=1+13.

把y0=-9代入y=x2-2x-3中，得

x2-2x-3=-9，即x2-2x+6=0.

∵Δ=(-2)2-4×1×6=-20<0，

∴此方程無實數根.

∴符合條件的點P有兩個：

P1(1-13，9），P2（1+13，9）.

說明 由本題的解答過程可看出，要求四邊形ACMB的面積，則必須求出A，C，M，B各點的坐標.求出四邊形ACMB的面積后就知道△PAB的面積，則可以求出點P的縱坐標，因此求出了點P的坐標.

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