等差數(shù)列前n項(xiàng)和的探究

【摘要】本文筆者對(duì)一道習(xí)題進(jìn)行反思，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情景，引導(dǎo)學(xué)生縱向深入，橫向擴(kuò)展.總結(jié)出一般性的規(guī)律，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和解決實(shí)際問題的能力.

【關(guān)鍵詞】反思；等差數(shù)列；前n項(xiàng)和

專家認(rèn)為反思是人們進(jìn)行知識(shí)探究，求得知識(shí)的最佳途徑.美籍?dāng)?shù)學(xué)教育家波利亞就指出，“如果沒有反思，他們就錯(cuò)過了一次重要而有益的方面.”反思是探究的開始，也是探究的深入.探究以反思為基礎(chǔ)，探究才能深刻進(jìn)行.因此在課堂教學(xué)中，教師竭力為學(xué)生創(chuàng)設(shè)探究氛圍，構(gòu)架反思平臺(tái)，充分挖掘潛能，引導(dǎo)學(xué)生從樅向與橫向上進(jìn)行探究，就能求得相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.

例 已知一個(gè)等差數(shù)列前10項(xiàng)和是310，前20項(xiàng)和是1220，由此可以確定其前n項(xiàng)和的公式嗎？

利用上題，筆者將學(xué)生分組，引導(dǎo)他們從多角度進(jìn)行探究.

學(xué)生1從已知入手，用下列方法求得公式.

解法 由S10=310，S20=1220將它們代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn=na1+n(n-1)d2中，得a1=4，d=6，∴Sn=3n2+n.

教師肯定了學(xué)生1用關(guān)于n的一元二次函數(shù)形式表示Sn后，引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般推理，進(jìn)一步提出是否所有的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和都可以表示為Sn=an2+bn+c的形式？如果可以，有何特點(diǎn)？這樣設(shè)疑學(xué)生興趣濃，富有積極性，挑得起，夠得著，易發(fā)現(xiàn)規(guī)律.教者問題一提出，學(xué)生積極思考.

學(xué)生2：這很明顯，只需將公式Sn=na1+n(n-1)d2變形為Sn=d2n2+a1-d2n，并令a=d2，b=a1-d2，即得Sn=an2+bn.

學(xué)生2的回答進(jìn)一步激發(fā)了同學(xué)的積極性，學(xué)生3則說出了：“其中二次項(xiàng)系數(shù)a為公差d的一半，沒有常數(shù)項(xiàng).”學(xué)生4緊接著搶答：“當(dāng)數(shù)列{an}為常數(shù)列時(shí)，Sn=bn.”

學(xué)生經(jīng)過以上的推理、探究，拓展了知識(shí)面，提高了創(chuàng)新能力，得出了如下結(jié)論：

已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列，則其前n項(xiàng)和Sn=an2+bn，其中a=d2，b=a1-d2.

在得出上述結(jié)論后，筆者為引導(dǎo)學(xué)生從逆向思維上進(jìn)行探究，克服前面的思維定勢(shì)，加大難度提出：既然等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn能表示為an2+bn，那么某數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn時(shí)，該數(shù)列是否為等差數(shù)列？學(xué)生經(jīng)過一番思考做出了肯定的回答.

學(xué)生5回答：“是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為a+b，公差為2a.”并用下列方法證明.

證明 由Sn=an2+bn，得a1=S1=a+b.

an=Sn-Sn-1=an2+bn-［a(n-1)2+b(n-1)］=2an+b-a(n≥2，n∈N+，沒有特殊說明時(shí)n∈N+)，且上式對(duì)n=1成立.

∴an-an-1=2a(n≥2，n∈N+).

∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a+b，公差為2a的等差數(shù)列，且通項(xiàng)an=2an+b-a.

經(jīng)過證明，學(xué)生推理、歸納能力得到了升華，探究能力進(jìn)一步提高，結(jié)論也就顯現(xiàn)出來.

如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn，那么該數(shù)列{an}是以首項(xiàng)為a+b，公差為2a（即公差為二次項(xiàng)系數(shù)的二倍）的等差數(shù)列，且通項(xiàng)an=2an+b-a.

為了利用數(shù)學(xué)內(nèi)部之間的這種奇妙關(guān)系，繼續(xù)向深層次大膽探索，筆者再次設(shè)疑，提出：若Sn=an2+bn+c(c≠0)時(shí)，數(shù)列{an}將會(huì)是怎樣呢？

學(xué)生6：由Sn=an2+bn+c(c≠0)，得a1=S1=a+b+c，

且an=Sn-Sn-1=an2+bn+c-［a(n-1)2+b(n-1)+c］=2an+b-a（n≥2，n∈N+）.

∴an-an-1=2a(n≥2，n∈N+).

……

學(xué)生7打斷學(xué)生6的思路說：“因?yàn)閍1不符合通項(xiàng)an=2an+b-a，所以數(shù)列{an}不是等差數(shù)列.”

學(xué)生8則指出：學(xué)生6解題錯(cuò)誤是在“an=Sn-Sn-1（n≥2，n∈N+）”的前提下產(chǎn)生的，因此an-an-1=2a成立的最小項(xiàng)為a2，即應(yīng)改為an-an-1=2a（n≥3，n∈N+）.

學(xué)生在探究中區(qū)別正誤，在討論中尋找錯(cuò)因，學(xué)生投入性強(qiáng)，糾錯(cuò)深刻，矯正明顯.借學(xué)生情緒高漲之際，師生展開熱烈討論，得出：

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=a+b+c；

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2an+b-a；

當(dāng)n≥3時(shí)，an-an-1=2a.

在討論中經(jīng)過比較，歸納如下結(jié)論：

若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn+c（c≠0），那么該數(shù)列從第二項(xiàng)起是首項(xiàng)為3a+b，公差為2a的等差數(shù)列.

通項(xiàng)：an=a+b+c(n=1)，2an-a+b(n≥2).

本節(jié)課筆者發(fā)揮自己的主導(dǎo)作用，營造探究氛圍，從已知到未知，從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深，轉(zhuǎn)化角度進(jìn)行反思，猜想、推理、歸納等，取得較好的教學(xué)效果.從后續(xù)作業(yè)中可以看出，如：

1.學(xué)生可以獨(dú)立證明出等差數(shù)列的S10，S20-S10，S30-S20為等差數(shù)列，并猜想出：Sk，S2k-Sk，S3k-S2k(k∈N+)也為等差數(shù)列.

2.在學(xué)習(xí)等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)筆者曾講道：

Sn=na(q=1)，a1(1-qn)1-q(q≠1).

學(xué)生通過觀察，從中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)q≠１時(shí)，前n項(xiàng)和Sn可以表示為m-mqn（即qn的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)）.

【參考文獻(xiàn)】

［1］曹一鳴.略論數(shù)學(xué)反思能力的培養(yǎng).中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2004（9）.

［2］羅增儒.波利亞的怎樣解題表.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2004（4）.

［3］中學(xué)（必修）數(shù)學(xué)第一冊(cè)（上）.人民教育出版社.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文