變式教學——激活學生思維的鑰匙

《數學課程標準》關于高中數學學習的教學目標之一：學會自主進行學習，獨立探究問題；對知識進行系統整理；會對已有的知識經驗進行反思、質疑，有發散思維和求異思維的積極心向，能提出自己的獨立見解.提出問題不僅有利于促進學生對數學知識的理解，提高他們的學習興趣，而且有助于培養學生發現問題的創造潛能，為終身學習和畢生的發展奠定基礎.眾所周知，高三數學總復習內容多，范圍廣，既要狠抓基礎，系統整理知識的脈絡結構，查漏補缺，又得兼顧提高，融會貫通，面對千頭萬緒，如何有條不紊地幫助學生通過觀察，搜索，整理積累，抽象概括，創造性地進行復習，提高學生的數學素養，是每一個高三教師面臨的重要課題.我們認為在實際教學中，應摒棄題海戰術，積極采用變式教學，串點成線，精心選編復習內容，將有利于提高高三數學復習教學效率.

在一次溫州市樂清與龍灣跨區域的高三數學教學聯誼研討活動中，其中“導數的應用（一）”（利用導數研究函數的單調性）這節公開課讓與會人員感悟至深，課堂教學中不僅考查學生的解題能力，還考查學生提出問題的能力，執教者從問題情景的設置、師生互動的和諧、恰時恰點的提問、激活思維的變式、扎實有效的功底給觀課老師留下了深刻印象.同時也給評課帶來了許多不同的著力點，給聯誼研討活動留下了很大的反思與探討的空間，與會教師都覺得收獲頗豐.下面是“導數的應用（一）”的教學案例.

一、奠 基

問題 判斷函數f(x)＝x-ln(x+2)，x∈(0，＋∞)的單調性.

師：判斷函數的單調性有哪些方法？

生1：圖像法、定義法、利用已知函數單調性法（如復合函數、單調函數的加、乘等）、導數法.

生2：此題用前三種方法都不合適，應用導數法.

師：導數法的理論依據是什么？

生3：f(x)在(a，b)內可導，若f′(x)>0(f′(x)<0)，則f(x)在(a，b)上為增（減）函數.

略解 ∵f′(x)＝12x-12-1x+2=(x-1)2+12x(x+2)>0，

∴f(x)在x∈(0，+∞)是增函數.

二、變式與探究

1.信息變遷

變式一 題中“2”改為“1”，即判斷函數f(x)＝x-ln(x+1)，x∈(0，＋∞)的單調性.

生4：做法類似，即f′(x)＝…=(x-1)22x(x+1)≥0，∴f(x)在x∈(0，+∞)是增函數.

生５：不對，因為f(x)在(a，b)內可導，若f′(x)>0，則f(x)在(a，b)上為增函數；若f′(x)＝0，則f(x)在(a，b)上為常函數.所以應區別對待.

生６：沒有關系，只有x＝１時f′(x)＝0.

生７：在某點f′(x)＝0，又f(x)在該點連續（可導必連續），不影響結果.

生８：多幾點也沒關系.

師：f(x)在(a，b)內可導，有限多個點處f′(x)＝0，而其余各點處f′(x)同為正（或同為負），則f(x)在這個區間仍是增（減）函數.

總結 f(x)在(a，b)內可導.

①當f′(x)>0時，f(x)在(a，b)上為增函數；

當f′(x)<0時，f(x)在(a，b)上為減函數；

當f′(x)＝0時，f(x)在(a，b)上為常函數.

②若f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且有限多個點處f′(x)＝0，則f(x)在(a，b)上仍為增（減）函數.

③f(x)在(a，b)上為增（減）函數，f′(x)≥0(f′(x)≤0).

練習1

①設函數f（x）在定義域內可導，y=f（x）的圖像如圖所示，則導函數y=f′(x)的圖像可能是().

②判斷函數y=x3的單調區間.

③已知函數y=12x3+2x2+x+2，則它的單調遞增區間是().

A.(-2，+∞)

B.-1，-13

C.(-∞，-1)與-13，+∞

D.R

學生解后口答：①D；②（-∞，+∞)；③B.

師：有了導數這個工具，函數的單調性很容易判斷，下面繼續用這個工具研究函數的單調性.

2.條件變遷

變式二 變式一中“１”改為“a”，題目改為：已知a>0時，函數f(x)=x-ln(x＋a)，x∈（0，+∞)的單調區間恰有三個，求a的取值范圍.

師：其實也需求f(x)的單調區間.

生9：f′(x)＝…=(x-1)2+(a-1)2x(x+a).

當a>1時，f′(x)>0，∴f(x)在x∈(0，+∞)是增函數.

當a=1時，f′(x)≥0，其中x=1時f′(x)=0，x≠1時f′(x)>0，∴f(x)在x∈(0，+∞)仍是增函數.∴a≥1時不合題意.

當0

綜上所述：0＜a＜1.

師：若將題目改為：當a>0時，判斷函數f(x)＝x-ln(x+a)，x∈(0，＋∞)的單調性.

生10：與上題類似.

師：這就是高考的一道解答題，此題蘊涵著數學中重要的思想方法：分類討論.你看，我們在不知不覺中解決了一道高考題.咦，高考題其實也不難嘛！高考真的離我們越來越近了.（學生會心地笑了）

練習2

①如果f(x)=ax3-x2+x-5在x∈(-∞，+∞)上單調遞增，則a的取值范圍是.

②研究函數f(x)=ax3+bx2-1ax+1的單調性，其中a≠0.

解 ①由題意，得f′(x)=3ax2-2x+1≥0恒成立.

當a=0時，不合題意；

當a≠0時，a>0，Δ≤0，即a≥13.

②∵f′(x)=3ax2+2bx-1a，

當a＞0時，f′(x)＞0，則f(x)在-∞，-b-b2+33a，-b+b2+33a，+∞上單調遞增，在-b-b2+33a，-b+b2+33a上單調遞減.

當a＜0時，則f(x)在-b-b2+33a，-b+b2+33a上單調遞增，在-∞，-b-b2+33a，-b+b2+33a，+∞上單調遞減.

3.拓展信息

變式三 求證：x≥lnx+1.

生11：可用圖像法，在同一坐標系中畫出y=x，y=lnx+1的圖像，圖y=x在圖y=lnx+1的上方即可.

生12：圖像法只能初步判斷，不能作為嚴格證明的依據.

師：可否由變式一得到啟發？（停頓片刻）

生13：構造函數f(x)＝x-ln(x+1).

∵f′(x)＝…=(x-1)22x(x+1)≥0，

∴f(x)在x∈(0，+∞)是增函數.

又 f(x)在x=0處右連續，

∴f(x)在x∈［0，+∞)是增函數.

∴當x≥0時，f(x)≥f(0)=0，∴x≥lnx+1.

師：此題用初等方法較難解決，而通過構造函數，用導數法輕松地解決了，這充分體現了導數的優越性.

4.存在性變遷

變式四 求證：方程x=lnx+1只有一個實根x=0.

師：此題應分兩步：先證有，再證只有.

生14：方程中必須滿足x≥0.

當x=0時，左=0，右=0，

∴方程x=lnx+1有一個實根x=0.

構造函數f(x)＝x-ln(x+1).

∵當x＞0時，f′(x)＝…=(x-1)22x(x+1)≥0，

∴f(x)在x∈(0，+∞)是增函數，

∴f(x)＞f(0)=0，即x＞lnx+1，

∴方程x=lnx+1只有一個實根x=0.

師：通過利用導數判斷函數的單調性，不僅能證明不等式，而且能證明方程根的問題.

練習3 已知0＜x＜π2，求證：tanx＞x.

證明 設f(x)=tanx-x，∵0＜x＜π2，

∴f′(x)=sinxcosx′-1=sin2x+cos2xcos2x-1

=sec2x-1=tan2x＞0.

∴f(x)在0，π2是增函數，

∴f(x)＞f(0)=0，∴tanx＞x.

師：用導數這個工具研究函數的單調性有很大的優越性，多用工具，用好工具，你將受益匪淺.

5.反思性思考

變式五 在函數f(x)的連續區間內，如果在有限多個點處f′(x)＝０或f′(x)不存在，而在其余各點處導數均為正（負），那么函數f(x)在這個區間上仍是單調遞增（減）嗎？（提示：借助函數y＝x3，y=x13可說明）

三、案例反思

1.本設計中一道題和五種變式是漸進的、有層次的，每一變式都是在上一變式的基礎上進行的，每一變式都為下一變式的解決搭橋鋪路，使得整堂課從淺到深，從易到難，融會貫通，一氣呵成，符合學生的認知規律.

2.從變式一中f′(x)≥0的討論、變式二分類討論思想的滲透、變式三的思維拓展、變式四函數的構造、變式五反思性思考，串成了本節課的一個鏈條，這樣的設計有利于分散難點，達到突破難點的作用，同時也突出了重點.

3.對于高三復習，教師設計例子的時間花得多一點，學生練習的時間就會少一點；設計的例題精一點，學生就會學得活一點、輕松一點.在實際教學中我們應摒棄題海戰術，積極采用變式教學，將題目串點成線，“變”既可以變內容，也可以變形式，還可以變問題的情景，等等，對于同一個規則可以設計出各種不同的形式.

由此案例，通過多方位、多角度地對問題研究到問題提出的過程加以變式、改造和拓展，運用數學研究的思想方法，感悟問題研究的基本策略，進一步提升了學生思維的品質，發展了他們的創造性思維.高三數學教學中，我們要改變學生單純地接受性學習方式，改變“死”做題的學習方式，要讓學生融入探索和研究的情景，要不斷提高學生的數學知識水平，培養問題意識、敏銳的觀察能力、豐富的想象能力、發散的思維能力和深刻的洞察能力等技能要素，使變式教學真正成為激活學生思維的鑰匙.

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