一道中考壓軸題的教學與反思

下面是一道2010年深圳市中考數學壓軸題：

如圖1，以點M（-1，0）為圓心的圓與y軸、x軸分別交于點A，B，C，D，直線y＝-33x-533與⊙M相切于點H，交x軸于點E，交y軸于點F.

（1）請直接寫出OE，⊙M的半徑r，CH的長；

（2）如圖2，弦HQ交x軸于點P，且DP∶PH＝3∶2，求cos∠QHC的值；

（3）如圖3，點K為線段EC上一動點（不與E，C重合），連接BK交⊙M于點T，弦AT交x軸于點N.是否存在一個常數a，始終滿足MN#8226;MK＝a？如果存在，請求出a的值；如果不存在，請說明理由.

本題考查了一次函數、切線的性質、相似三角形的判定和性質、三角函數、垂徑定理、圓周角定理及推論等知識，在解題過程中需要構造直角三角形，運用到轉化思想、方程思想和函數思想，第（3）問考查動點問題中的定值問題，尋找變化中的不變規律，是一道非常有研究價值的中考好題.下面就第（3）問的解答方法進行歸納：證明等積式的常用方法是證明線段所在的兩個三角形相似，解決本題的關鍵是構造與線段MN和MK有關的兩個相似三角形.本題可構造下列幾對相似三角形來加以證明：（1）△MNT和△MTK；（2）△MNA和△MAK；（3）△MNB和△MBK；（4）△MNA和△MBK；（5）△MNB和△MAK.

每對相似三角形的證明都可以采用下列8種方法：（以△MNT和△MTK為例）

證法1 如圖4，連接TM并延長交⊙M于G，連接AG，則∠G+∠GTA=90°，∠OBK=∠G.∵∠OBK+∠BKO=90°，∴∠GTA=∠BKO.∵∠NMT=∠TMK，∴△MNT∽△MTK，∴MNMT=MTMK，即MN#8226;MK＝MT2=4.故存在常數a，始終滿足MN#8226;MK＝a，常數a=4.

證法2 如圖5，連接TM并延長交⊙M于G，連接BG，則∠ABG+∠KBO=90°，∠KBO+∠BKO=90°，∴∠ABG=∠BKO.∵∠ATG=∠ABG，∴∠GTA=∠BKO，即∠MTN=∠MKT.（其余步驟同證法1）

證法3 如圖6，連接TM，AM并延長AM交⊙M于G，連接TG，則∠G+∠GAT=90°，∠OBK=∠G.∵∠OBK+∠BKO=90°，∴∠GAT=∠BKO.∵MA=MT，∴∠GAT=∠MTN，∴∠MTN=∠BKO.（其余步驟同證法1）

證法4 如圖7，連接TM，AM并延長AM交⊙M于G，連接BG，則∠GBA=∠AOK=90°，∴BG∥OK，∴∠GBT=∠BKO.∵MA=MT，∴∠GAT=∠MTN.∵∠GBT=∠GAT，∴∠MTN=∠BKO.（其余步驟同證法1）

證法5 如圖8，連接TM，BM并延長BM交⊙M于G，則G與H重合，連接AH，則∠BOK=∠HAB=90°，∴AH∥OK，∴∠HAT=∠ANO.∵MB=MT，∴∠MBT=∠MTB.∵∠HAT=∠HBT，∴∠ANO=∠MTB，∴∠MNT=∠MTK.∵∠NMT=∠TMK，∴△MNT∽△MTK，∴MNMT=MTMK.即MN#8226;MK＝MT2=4，故存在常數a，始終滿足MN#8226;MK＝a，常數a=4.

證法6 如圖9，連接TM，BM并延長BM交⊙M于G，則G與H重合，連接TH，則∠BHT+∠HBT=∠NAO+∠ANO=90°.∵∠NAO=∠BHT，∴∠HBT=∠ANO.∵MB=MT，∴∠MBT=∠MTB，∴∠ANO=∠MTB，∴∠MNT=∠MTK.

證法7 如圖10，連接TM，AM，作MG⊥AT于G，則∠GMT+∠MTG=90°，∠ABK=∠GMT=12∠AMT.∵∠ABK+∠BKO=90°，∴∠MTG=∠BKO.（其余步驟同證法5）

證法8 如圖11，連接TM，AM和MB，則∠BMO=∠ATB=12∠AMB.∵MT=MB，∴∠MTB=∠MBT.∵∠BMO=∠MBK+∠BKO，∠ATB=∠MTB+∠MTN，∴∠BKO=∠MTN.（其余步驟同證法5）

綜上可知，本題有四十余種證明方法可供學生選擇，有利于學生發揮出自己的水平，避免“華山一條路”造成的思維短路，這是一道好的中考壓軸題應具備的條件.

本題方法雖多，但輔助線的作法只有三種：作圓的半徑、直徑或垂徑，以便于尋找角的等量關系，教學時關鍵是如何幫助學生弄清不同解法之間的區別和聯系，找出添加輔助線的規律，形成清晰的解題思路，才能提高分析問題和解題的能力.

為了幫助學生鞏固所學知識，我們還可從下面幾個方面進行拓展：

1.當點K在射線CE上運動時，問題（3）中結論是否仍成立？說明理由.

2.當點K在線段CD上運動時，直線BK交⊙O于T，連接AT并延長交x軸于點N，是否存在一個常數a，滿足MN#8226;MK＝a？如果存在，請求出a的值；如果不存在，請說明理由.

3.當點K在x軸上運動時，直線BK交⊙O于T，連接AT并延長交x軸于點N，是否存在一個常數a，始終滿足MN#8226;MK＝a？如果存在，請求出a的值；如果不存在，請說明理由.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文